Matematické Fórum

simonav · 15. 02. 2013 14:39

zdravim...velmi zdlhavym postupom sa sa k nejakemu vysledku dostala...chcem vsak vediet..ci nepoznate nejaku jednoduchsiu metodu pocitania podobych prikladov..diks

vlado_bb · 15. 02. 2013 14:46

↑ simonav:Neviem, ako si postupovala, ale nejako radikalne rychlo to asi nejde, treba si rozmysliet, akymi sposobmi sa da v sucine dostat $x^6$ a ake budu koeficienty pri tychto clenoch. V krajnom pripade by to nebolo take hrozne ani cele umocnit a vynasobit, to ale robit netreba.

BakyX · 15. 02. 2013 15:35 — Editoval BakyX (15. 02. 2013 16:19)

Je treba si rozmyslieť, ako vznikne koeficient $x^6$ .

1. Ak vznikne násobením členu s $x^4$ z prvého výrazu a členu s $x^2$ z druhého výrazu, tak "príspevok" do koeficientu je $(-2)^0 \cdot \binom {4} {0} \cdot (-1)^3 \cdot \binom {5} {3}$

2. Ak vznikne násobením členu $x^3$ z prvého aj druhého výrazu, tak príspevok je $(-2)^1 \cdot \binom {4} {1} \cdot (-1)^2 \cdot \binom {5} {2}$

3. Ak vznikne násobením členu $x^2$ z prvého a $x^4$ z druhého výrazu, tak príspevok je $(-2)^2 \cdot \binom {4} {2} \cdot (-1)^1 \cdot \binom {5} {1}$

4. Ak vznikne násobením členu $x$ z prvého a $x^5$ z druhého výrazu, tak príspevok je $(-2)^3 \cdot \binom {4} {3} \cdot (-1)^0 \cdot \binom {5} {0}$

Celkový príspevok, teda koeficient, získaš zrejme sčítaním týchto čísel.

Rumburak

↑ simonav:

Ahoj.

Domnívám se, že se vyplatí pracovat přímo s formálním vzorcem :

$(x-2)^4 = \sum_{k=0}^4{4\choose k} x^{4-k}(-2)^k$ , $(x-1)^5 = \sum_{m=0}^5{5\choose m} x^{5-m}(-1)^m$ ,

takže podle poněkud obecněji zformulovaného distributivního zákona máme

$(x-2)^4(x-1)^5 = \sum_{k=0}^4{4\choose k} x^{4-k}(-2)^k\sum_{m=0}^5 {5\choose m} x^{5-m}(-1)^m =\\=\sum_{k=0}^4\sum_{m=0}^5{4\choose k} x^{4-k}(-2)^k{5\choose m} x^{5-m}(-1)^m = \!\\=\sum_{k=0}^4\sum_{m=0}^5{4\choose k}{5\choose m}(-1)^{k+m}\,2^k\,x^{9-k-m}$ .

Z posledního výrazu je zřejmé řešení úlohy:

1. najdeme všechny usp. dvojice $[k, m] \in \{ 0, 1, 2, 3, 4\}\times \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ , pro které navíc platí $9-k-m = 6$ ,

2. ke každé usp. dvojici $[k, m]$ nalezené v kroku 1 určíme číslo

$C_{[k, m]} := {4\choose k}{5\choose m}(-1)^{k+m}\,2^k$ ,

3. čísla $C_{[k, m]}$ nalezená v kroku 2 sečteme - tento jejich součet bude koeficientem u $x^6$ .

simonav · 15. 02. 2013 19:01

↑ Rumburak:
dakujem za vas cas..:)

Arabela · 15. 02. 2013 19:27

Ahoj ↑ simonav:,
výsledok je správny. Do budúcnosti sa ale skús držať pravidla: nový príklad znamená založenie novej témy.
${5\choose 2}{2\choose 1}=20$

simonav · 15. 02. 2013 19:29

↑ Arabela:
hej hej..uz som ho zmazala a zalozila znova..ospravedlnujem sa..som nepozorna..vsimla som si to az neskoro..
este raz prepacte..

Matematické Fórum

#1 15. 02. 2013 14:39

binomicka veta

#2 15. 02. 2013 14:46

Re: binomicka veta

#3 15. 02. 2013 15:35 — Editoval BakyX (15. 02. 2013 16:19)

Re: binomicka veta

#4 15. 02. 2013 16:05 — Editoval Rumburak (15. 02. 2013 17:04)

Re: binomicka veta

#5 15. 02. 2013 19:01

Re: binomicka veta

#6 15. 02. 2013 19:27

Re: binomicka veta

#7 15. 02. 2013 19:29

Re: binomicka veta

Zápatí