Matematické Fórum

Dawidx · 13. 02. 2013 11:54

Ahoj, zkouším si vzorové přijímačky na vysokou a narazil jsem na příklad:
$\log_{2}({3x-1})<3$
Po převedení trojky na $\log_{2}8$ a odstranění logaritmů vyjde $3x-1<8$ , tudíž $x<3$ a $x\in (-\infty ;3)$
Ve výsledích těchto testů ale je uvedeno jako výsledek $(1/3;3)$ . Můžete mi prosím vysvětlit jak na to došli? Díky

Hanis · 13. 02. 2013 12:02 — Editoval Hanis (13. 02. 2013 12:36)

Ahoj.
Chybí ti podmínky a stanovit definiční obor.

EDIT: A je potřeba zdůvodnit, proč můžeš odlogaritmovat...

Dawidx · 13. 02. 2013 19:50

↑ Hanis:
Tak podmínky jsou $(3x-1)>0$ , takže $x>1/3$ , ale jak mě to dostává k 1/3 jako kořenu? A zdůvodnění odlogaritmování je prosím co?

Hanis · 13. 02. 2013 20:03

No nedostává tě to k x=1/3 jako kořenu, ale toto je podmínka - x<=1/3 nemohou být řešení nerovnice, ptž. by výraz na levé straně neměl smysl.

A odlogaritmování - jak bys řešil nerovnici $log_{\frac12}(x+3)>4$

Dawidx · 13. 02. 2013 20:15

↑ Hanis: asi takhle:
$\log_{\frac{1}{2}}(x+3)>\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{16}$
$x+3<\frac{1}{16}$
$x<-\frac{47}{16}$
s podmínkami x>-3, takže bež bez řešení? Vím že při odlogaritmovávání logaritmů o základu menším než jedna se v nerovnici mění nerovnítko, ale nejde mi do hlavy to zdůvodňování.

Hanis · 13. 02. 2013 20:27 — Editoval Hanis (13. 02. 2013 20:30)

Jo, mi šlo o to, jestli otočíš znamínko.
A otáčí se proto, že log o základu menším, než jedna, je klesající funkce.
Obdobně, kdybys řešil exponenciální nerovnici, tak podle základu je třeba měnit otočit nerovnost.

EDIT: řešení ta moje nerovnice mít bude, a to (-3, -47/16)

Dawidx · 13. 02. 2013 20:39

↑ Hanis:
Jsem nejspíš natvrdlej, v té mé nerovnici se znamínko nemění a pořád mě nenapadá jak vyčarovat interval (1/3;3)?

Dominik R. · 13. 02. 2013 20:43

↑ Dawidx:
Průnik s definičním oborem

$K= (-\infty ;3)\cap (\frac{1}{3};+\infty )$

Anetka · 13. 02. 2013 21:06

Ahoj, po dlouhém snažení jsem se v logaritmické nerovnici úplně ztratila. Máme zadanou nerovnici
$log_{3}\frac{x-3}{x+3} > 0$
určila jsem, že $x= (-\infty ;-3)\cup (3;\infty )$ jenomže naše učebnice je chytrá a píšou v ní že výsledek je pouze v intervalu $(-\infty ;-3)$ . Někdy se spletou, ale já se s tím už patlám tak dlouho, tak mi to nedá.

Dawidx · 13. 02. 2013 21:10

↑ Anetka:
Tak na to si počkám :D

Dominik R.

↑ Anetka:
Příšte si založ nové téma!
To, co jsi určila, je definiční obor, řešení rovnice by mělo být $\frac{x-3}{x+3}>1$ . (protože $\log_{3}1=0$ ) a následně udělat průnik řešení této nerovnice a definičního oboru.

Poznámka: u toho definičního oboru je správně $x\in (-\infty ;-3)\cup (3;\infty )$ tedy použít $\in$ , nikoliv $=$ .

Anetka · 13. 02. 2013 21:19

↑ Dominik R.:nechápu to $\log_{_{3}}1 = 0$ , to se vzalo kde?

Dominik R. · 13. 02. 2013 21:20

↑ Anetka:
Neboť $3^{0}=1$ .

Anetka · 13. 02. 2013 21:24

Už jsem v tom nějak ztracená...

Anetka · 13. 02. 2013 21:27 — Editoval Anetka (13. 02. 2013 21:43)

Takže potom když mám $\frac{x-3}{x+3}-1>0$ tak z toho dostanu to $(-\infty;-3 )$ jak?

Dawidx · 13. 02. 2013 21:28

Anetka napsal(a):
Už jsem v tom nějak ztracená...

tohle ještě chápu, stejně jako u $\log_{2}8=3$ , protože $2^{3}=8$ , tak $\log_{3}1=0$ , protože $3^{0}$ je 1 :) (obecně to vlevo na to vpravo rovná se to uprostřed :D)

Dominik R. · 13. 02. 2013 21:29

↑ Anetka:
Znova a podrobně
Definiční obor rovnice: $D= (-\infty ;-3)\cup (3;\infty )$
Řešíme
$\log_{3}\frac{x-3}{x+3} > 0 \\ \log_{3}\frac{x-3}{x+3}>\log_{3}1\\$
Základ je větší než 1, takže bez problémů odlogaritmujeme

$\frac{x-3}{x+3}>1$

Pokud už řešíš logaritmy, určitě umíš i nerovnice v podílovém tvaru.

Anetka · 13. 02. 2013 21:29

↑ Dawidx: k tomu jsem se také dostala jenomže potom z toho musím vypočítat ten úžasnej intervaů od 3 do nekonečna a jaksi... Někdo mi asi ukradl nějaké číslo ...

Anetka · 13. 02. 2013 21:31

↑ Dominik R.:
Jo tákhle. Děkuju moc :)

Dawidx · 16. 02. 2013 11:17

Dominik R. napsal(a):
↑ Dawidx:
Průnik s definičním oborem

$K= (-\infty ;3)\cap (\frac{1}{3};+\infty )$

Dalo by se teda zjednodušeně říct, že def. obor funkce $\log_{3}x$ je $(\frac{1}{3};\infty)$ a def. obor fce $\log_{0,4}$ by byl $(\frac{5}{2};\infty)$ ? Zkrátka obrácená ohnota základu logaritmu $\Rightarrow$ nekonečno?

Kobleezchek · 16. 02. 2013 11:55

↑ Dawidx:

zdraVím...

To by se říct nedalo...

Definiční obor logaritmické funkce určuješ dle jejího numeru (jednoduše řečeno "x-ka").

Takže v případě $\log_3{x}$ je definiční obor $x>0$ , v případě $\log_{0,4}x$ taktéž.

Pokud teda ještě nevíš jak na to, tak v případě tvé nerovnice $\log_{2}({3x-1})<3$ jsi správně vyřešil, že $x\in (-\infty ;3)$ , ale to není úplný výsledek. Abys dospěl k výsledku, tak do toho musíš zakomponovat ještě definiční obor samotné funkce, což je $3x-1>0$ ... z toho $x\in (1/3;\infty )$ ... Uděláš průnik těchto dvou intervalů a máš požadovaný výsledek.

Dominik R. · 16. 02. 2013 11:57

↑ Dawidx:
1) definiční obor funkce $y=\log_{3}x$ je interval $(0;+\infty )$
2) u $\log_{0,4}$ ti chybí argument, pokud jsi měl na mysli $\log_{0,4}x$ , tak její definiční obor je $(0;+\infty )$ .
Když určuješ definiční obor nějaké logaritmické funkce, zajímá tě argument, nikoliv základ. Když jsi určoval definiční obor té první rovnice, řešil jsi $(3x-1)>0$ .

Dawidx · 16. 02. 2013 13:14

↑ Kobleezchek:↑ Dominik R.:
Jo takhle to je, to je tak jednoduchý že mě to nenapadlo. Díky oběma :)

Matematické Fórum

#1 13. 02. 2013 11:54

Logaritmická nerovnice

#2 13. 02. 2013 12:02 — Editoval Hanis (13. 02. 2013 12:36)

Re: Logaritmická nerovnice

#3 13. 02. 2013 19:50

Re: Logaritmická nerovnice

#4 13. 02. 2013 20:03

Re: Logaritmická nerovnice

#5 13. 02. 2013 20:15

Re: Logaritmická nerovnice

#6 13. 02. 2013 20:27 — Editoval Hanis (13. 02. 2013 20:30)

Re: Logaritmická nerovnice

#7 13. 02. 2013 20:39

Re: Logaritmická nerovnice

#8 13. 02. 2013 20:43

Re: Logaritmická nerovnice

#9 13. 02. 2013 21:06

Re: Logaritmická nerovnice

#10 13. 02. 2013 21:10

Re: Logaritmická nerovnice

#11 13. 02. 2013 21:13 — Editoval Dominik R. (13. 02. 2013 21:23)

Re: Logaritmická nerovnice

#12 13. 02. 2013 21:19

Re: Logaritmická nerovnice

#13 13. 02. 2013 21:20

Re: Logaritmická nerovnice

#14 13. 02. 2013 21:24

Re: Logaritmická nerovnice

#15 13. 02. 2013 21:27 — Editoval Anetka (13. 02. 2013 21:43)

Re: Logaritmická nerovnice

#16 13. 02. 2013 21:28

Re: Logaritmická nerovnice

Anetka napsal(a):

#17 13. 02. 2013 21:29

Re: Logaritmická nerovnice

#18 13. 02. 2013 21:29

Re: Logaritmická nerovnice

#19 13. 02. 2013 21:31

Re: Logaritmická nerovnice

#20 16. 02. 2013 11:17

Re: Logaritmická nerovnice

Dominik R. napsal(a):

#21 16. 02. 2013 11:55

Re: Logaritmická nerovnice

#22 16. 02. 2013 11:57

Re: Logaritmická nerovnice

#23 16. 02. 2013 13:14

Re: Logaritmická nerovnice

Zápatí