Matematické Fórum

Fodraz · 15. 02. 2013 12:22

Ahojte. Prosim vas vedeli by ste mi pomoct ako mozem dokazat, ze logaritmus 3 pri zaklade 2 nie je racionalne cislo?. Predpokladam ze sa uloha bude riesit sporom, ale neviem tym i tak pohnut, dakujem

vlado_bb

↑ Fodraz:Ano, sporom, predpokladaj, ze je racionalne a ma tvar $\frac pq$ , napis si to a umocni na $q$ , potom to uz uvidis.

Fodraz · 15. 02. 2013 12:59

takze log2 3 = p/q tak potom druhy krok by ako vyzeral? Nie som si presne isty ako si to myslel,

ďakujem velmi pekne

vlado_bb · 15. 02. 2013 13:04

↑ Fodraz:Napis si rovnicu, ktoru si uviedol, v tvare exponencialnej funkcie, teda ako rovnost v tvare 3 = ...

Fodraz · 15. 02. 2013 13:13

prave o to mi ide, ze log2 3 viem zapisat ako 2 na xtu = 3 a mam porovnavat s p/q, takze tu mam ten problem.

vlado_bb

↑ Fodraz:Uz si blizko, len este prist na to, co je tvoje $x$ . Pozri si co je to vlastne logaritmus.

Fodraz · 15. 02. 2013 13:42

uf, trapis ma ale.D .. tak log, funkcia je inverznou k exponencialnej, teda x = a na ytu (3=2 na xtu), cize staci dokazat 3 =p/q? lebo to je potom uz lahke

vlado_bb · 15. 02. 2013 13:56

Preco neveris sam sebe? Najprv spravne pises ze

Fodraz napsal(a):
log, funkcia je inverznou k exponencialnej, teda x = a na ytu (3=2 na x-tu

a potom napises ze treba dokazat, ze $3=\frac pq$ ??? Ved to sa uci uz na zakladnej skole, ze $3=\frac 31$ . My sme ale nechceli ukazat, ze 3 je racionalne cislo, ale ze $\log_3 2$ nim nie je. Ak by bolo, bola by splnena rovnost $\log_3 2 = \frac pq$ . Ak vyuzijem to co ty sam pises, tak to by znamenalo, ze $3^{\frac pq}=2$ . No a teraz pokracujme tak, ako v uvode - umocni na $q$ a urcite uvidis ze nieco nemoze byt v poriadku.

martisek · 15. 02. 2013 15:21

Nechci se do toho míchat, ale - v zadání je "logaritmus 3 pri zaklade 2"

Takže proč $\log_3 2 = \frac pq$ ?

vlado_bb · 15. 02. 2013 15:38

↑ martisek:Pardon, naopak - $\log_2 3 = \frac pq$ .. ale dalej ako som pisal - previest do tvaru $2^{\frac pq}=3$ , umocnit a uz iba rozmyslat ...

martisek · 15. 02. 2013 15:43

↑ vlado_bb:

Jasně - ono to samozřejmě není racionální ani tak, ani tak a na důkazu to nic nemění :-)

Brano · 15. 02. 2013 18:56

Tak trochu OT, ale mozno by bolo dobre keby sa OP trochu posnazil a napisal zadanie v citatelnej forme. Slovne zapisy rovnic sme opustili uz niekedy v stredoveku. Potom by sa dalo vyvarovat chyb ako $\log_3 2$ namiesto $\log_2 3$ .

martisek · 16. 02. 2013 16:32

↑ Fodraz:

Asi už bychom s tím měli nějak pohnout. Tedy:

Budeme předpokládat, že číslo $a=log_23$ je racionální, tj. že existují dvě celá (v tomto případě to jsou dokonce přirozená) a nesoudělná čísla m, n tak že $a=\frac m n$ . To znamená, že musí platit

$2^\frac mn=3\Rightarrow 2^m=3^n=c \in N$ (1)

To je ale spor např. s větou o jednoznačném rozkladu, která říká, že rozklad každého přirozeného čísla na prvočinitele je jednoznačný, až na pořadí činitelů, tj. že každé přirozené číslo lze zapsat ve tvaru

$c=p_1^{r_1}p_2^{r_2}....p_k^{r_k}$

a to (až na to pořadí) jednoznačně. No a v zápisu (1) jsou ty rozklady dva a liší se jak základem, tak mocninou :-)

Fodraz · 17. 02. 2013 16:17

↑ martisek:
ďakujem pekne.)

Matematické Fórum

#1 15. 02. 2013 12:22

dokaz logaritmu

#2 15. 02. 2013 12:37 — Editoval vlado_bb (15. 02. 2013 12:50)

Re: dokaz logaritmu

#3 15. 02. 2013 12:59

Re: dokaz logaritmu

#4 15. 02. 2013 13:04

Re: dokaz logaritmu

#5 15. 02. 2013 13:13

Re: dokaz logaritmu

#6 15. 02. 2013 13:15 — Editoval vlado_bb (15. 02. 2013 13:15)

Re: dokaz logaritmu

#7 15. 02. 2013 13:42

Re: dokaz logaritmu

#8 15. 02. 2013 13:56

Re: dokaz logaritmu

Fodraz napsal(a):

#9 15. 02. 2013 15:21

Re: dokaz logaritmu

#10 15. 02. 2013 15:38

Re: dokaz logaritmu

#11 15. 02. 2013 15:43

Re: dokaz logaritmu

#12 15. 02. 2013 18:56

Re: dokaz logaritmu

#13 16. 02. 2013 16:32

Re: dokaz logaritmu

#14 17. 02. 2013 16:17

Re: dokaz logaritmu

Zápatí