Matematické Fórum

barca33 · 16. 02. 2013 17:14

Zadání : Určete body dotyku tečen vedených boden O ( 0,0) ke kružnici s rovnicí x^{2}+y^{2}+10x+10y+49=0 PORADÍTE MI NĚKDO ALESPOn POstup prosím ? děkuji moc

Arabela · 16. 02. 2013 17:26

Ahoj ↑ barca33:, najskôr si uprav rovnicu kružnice na stredový tvar, potom použi vzorec - rovnica dotyčnice ku kružnici v danom bode...

barca33 · 16. 02. 2013 18:14

↑ Arabela:
a jaký vzorec mám použít . nEMOHLA BY JSTE TO ROZEpsat moc to nechápu . Děkuji

Arabela · 16. 02. 2013 18:20

↑ barca33:,
ak máme rovnicu kružnice $(x-m)^{2}+(y-n)^{2}= r^{2}$ ,
potom rovnica dotyčnice ku tejto kružnici v jej bode $T[x_{1};y_{1}]$
je
t... $(x_{1}-m)(x-m) + (y_{1}-n)(y-n) = r^{2}$ .

barca33 · 17. 02. 2013 10:16

↑ Arabela:
děkuji za návod , ale přesto mi to nevyšlo :(

Cheop · 17. 02. 2013 11:16 — Editoval Cheop (17. 02. 2013 12:47)

↑ barca33:
Protože tečny ke kružnici mají procházet bodem O=(0; 0) potom rovnice tčen bude mít tvar:
$y=kx$ - toto dosadíme do rovnice kružnice:
$x^2+y^2+10x+10y+49=0\\x^2+k^2x^2+10x+10kx+49=0\\x^2(k^2+1)+10x(k+1)+49=0$ - aby to byla tečna potom D =0 tj.
$(10k+10)^2-4\cdot 49(k^2+1)=0\\100k^2+200k+100-196k^2-196=0\\96k^2-200k+96=0\\k_1=\frac 43\\k_2=\frac 34$
Tečné body:
pro $k=\frac 43$
$x=\frac{-10(k+1)}{2(k^2+1)}\\x=\frac{-10(\frac 43+1)}{2(\frac{16}{9}+1)}\\x=\frac{\frac{-70}{3}}{\frac{50}{9}}\\x=-\frac{21}{5}$
$y=kx\\y=\frac 43\cdot\frac{-21}{5}\\y=-\frac{28}{5}$
Tečný bod
$T_1=\left(-\frac{21}{5};\,-\frac{28}{5}\right)$

Obdobně pro $k=\frac 34$