Matematické Fórum

barca33 · 16. 02. 2013 17:07

Dobrý den mohu poprosit někoho , kdo by byl tak hodný a napsal mi postup u úlohy : Určete d tak , aby přímka p: y= 2x+d byla tečnou kružnice s rovnici x^{2}+y^{2}-2x+6y=0. URČETE TÉŽ bod dotyku. děkuji moc za pomoc

Takjo · 16. 02. 2013 17:16

↑ barca33:
Dobrý den,
řešte jako soustavu dvou rovnic.
Dostanete kvadratickou rovnici, jejíž diskriminat položíte roven 0 (přímka má být tečnou, má tedy s kružnicí společný pouze jeden bod)... Tímto postupem dostanete d.

barca33 · 16. 02. 2013 18:20

↑ Takjo:
to už jsem zkoušela bohužel mi to nevyšlo. Mohla bych vás poprosit jestli by jste to nezkusil vypočítat ? Případně , že by jste mi rozepsal postup . Mockrát děkuji

Arabela · 16. 02. 2013 18:34

Ahoj ↑ barca33:,
z rovnice y=2x+d dosadíš za y do rovnice kružnice.
Po úpravách dostaneš
$5x^{2} + (10+4d)x + d^{2}+6d=0$ .
Podarilo sa? Potom si povieme ďalej...

barca33 · 16. 02. 2013 19:03

↑ Arabela:
no raději bych poprosila o rozepsání. nechápu tu úpravu

Arabela · 16. 02. 2013 19:12

↑ barca33:,
$x^{2}+y^{2}-2x+6y=0$
$x^{2}+(2x+d)^{2}-2x+6(2x+d) =0$
$x^{2}+4x^{2}+4xd+d^{2} -2x+12x+6d=0$
$5x^{2}+x(4d-2+12) +6d +d^{2}=0$
$5x^{2}+(10+4d) x + d^{2}+6d=0$

barca33 · 16. 02. 2013 22:39

↑ Arabela:
děkuji a mohu poprosit ještě o rozepsání dalšího postupu ?

Kobleezchek

↑ barca33:

zdraVím...

Dovolím si reagovat místo ↑ Arabela:.

Hledáš případ, kdy bude přímka tečnou k dané kružnici, tudíž...

Z rovnice $5x^{2}+(10+4d) x + d^{2}+6d=0$ počítáš klasicky diskriminant, ale ten musíš dát roven $0$ ... Výpočtem pak zjistíš $d$ a hotovo.

barca33 · 16. 02. 2013 22:57

↑ Kobleezchek:
ALE JÁ NECHÁpu , jak se dostanu k tvaru diskriminantu když má v rovnici dvě písmena na druhou

Kobleezchek · 16. 02. 2013 22:59

↑ barca33:

$a$ - $5$
$b$ - $10+4d$
$c$ - $d^{2}+6d$

Je to jasné?

Arabela · 16. 02. 2013 23:05

↑ barca33:,
v ďalšom si vyjadríš diskriminant
$D=b^{2}-4ac=(10+4d)^{2}-4.5(d^{2}+6d) =$
$=100+80d+16d^{2}-20d^{2}-120d =$
$= -4d^{2}-40d+100$ .
Uplatníš podmienku D=0 a vypočítaš d:
$-4d^{2}-40d+100=0$ ,
$d^{2}+10d-25 = 0$ .
Riešiš kvadratickú rovnicu s neznámou d:
$d_{1,2}=\frac{-10\mp \sqrt{100-4.1.(-25)}}{2}=$
$=\frac{-10\mp \sqrt{100}}{2}=\ldots =-5\mp 5\sqrt{2}$
A zostáva posledná časť úlohy - zistiť súradnice dotykových bodov...

barca33 · 16. 02. 2013 23:37

↑ Arabela:
děkuji moc a ty body dotyku zjistím jak ?

Kobleezchek

↑ barca33:

Do $5x^{2}+(10+4d) x + d^{2}+6d=0$ si dosadíš to, anebo ono, $d$ které jsi vypočetla. Zjistíš $x$ souřadnice, ty pak dosadíš do rovnice dané přímky (s daným dosazeným $d$ ) a zjistíš $y$ souřadnice.

barca33 · 16. 02. 2013 23:55

↑ Kobleezchek:
pokusím se to dát nšjak dohromady ikdyž ta odmocnina mě docela děsí :D

Arabela · 17. 02. 2013 02:33

↑ barca33:,
uvažovala som nad tými dotykovými bodmi. Klasický postup (hľadať spoločné body danej kružnice a priamky, o ktorej už vieme, že bude dotyčnicou), je v tomto prípade trošku zapeklitejšie (vzhľadom na tvar d).
Nie je to nemožné, ale trochu nepríjemné.
Skúsila som iný postup.
Najskôr som si napísala stredový tvar rovnice danej kružnice
$(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=10$ .
Na základe toho napíšem rovnicu dotyčnice v tvare
$(x_{1}-1)(x-1)+(y_{1}+3)(y+3)-10=0$ .
Roznásobím a upravím na všeobecný tvar
$(x_{1}-1)x+(y_{1}+3)y -x_{1}+3y_{1}=0$ .
Uvedomím si, že pre hodnotu $d=-5+5\sqrt{2}$ mi vyšla dotyčnica v tvare
$t_{1} ... y=2x+(-5+5\sqrt{2})$ ,
po úprave na všeobecný tvar
$t_{1} ... 2x - y+(-5+5\sqrt{2}) =0$ .
Keďže jedna rovnica môže byť akýmsi k-násobkom druhej,
musí platiť:
$x_{1}-1=k.2$
$y_{1}+3=k.(-1)$
$-x_{1}+3y_{1}=k(-5+5\sqrt{2})$
Dosadením z prvých dvoch rovníc za $x_{1}$ , resp. $y_{1}$ do tretej rovnice po úpravách dostaneme $k=-\sqrt{2}$ a dosadením za k do prvých dvoch rovníc dostaneme $x_{1}=1-2\sqrt{2}$ , $y_{1}=-3+\sqrt{2}$ .

Druhý dotykový bod (s použitím druhej hodnoty d) získame obdobne. Dostaneme
$x_{1}'=1+2\sqrt{2}$ , $y_{1}'=-3-\sqrt{2}$ .

barca33 · 17. 02. 2013 08:57

↑ Arabela:
jste zlatá moc děkuji . Jen jestli můžu ještě poprosi jenom rozepsat tu rovnici i čísly
$-x_{1}+3y_{1}=k(-5+5\sqrt{2})$ nejsem si jistá jestli jsem získala dobře y1 děkuij.

Cheop · 17. 02. 2013 09:55 — Editoval Cheop (17. 02. 2013 09:56)

↑ barca33:
Souřadnice bodu dotyku:
1) Protože už víme, že diskriminant D=0 potom:
x-ová souřadnice bodu dotyku bude:
$x_1=\frac{-(10+4d)}{2\cdot 5}=\\\frac{-(10+4(5\sqrt 2-5)}{10}=\\\frac{-(20\sqrt 2-10)}{10}\\x_1=1-2\sqrt 2$
y-ovou souřadnici bodu dotyku dopočteme z rovnice:
$y=2x+d\\y_1=2(1-2\sqrt 2)+5\sqrt 2-5\\y_1=2-4\sqrt 2+5\sqrt 2-5\\y_1=\sqrt 2-3$
Bod dotyku:
$T_1=(1-2\sqrt 2;\,\sqrt 2-3)$
Obdobně pr druhý bod dotyku.

Arabela

↑ barca33:
Z prvej rovnice $x_{1}=1+2k$ , z druhej $y_{1}=-3-k$ . Dosadíme do tretej:
$-(2k+1)+3(-k-3)=k(-5+5\sqrt{2})$
$-2k-1-3k-9=-5k+5k\sqrt{2})$
$5k\sqrt{2}=-10$
$k=-\sqrt{2}$
Dosaďme do prvej rovnice
$x_{1}=2k+1=2(-\sqrt{2)}+1=1-2\sqrt{2}$
a do druhej rovnice
$y_{1}=-k-3=-(-\sqrt{2})-3=-3+\sqrt{2}$ .

A teraz použitie druhej hodnoty d.
$x_{1}-1=2l$
$y_{1}+3=-l$
$-x_{1}+3y_{1}=l(-5-5\sqrt{2})$
Dosadenie z prvých dvoch do tretej
$-(2l+1)+3(-l-3)=l(-5-5\sqrt{2}) ..............$ l=\sqrt{2}
Dosadenie do prvých dvoch rovníc
$x_{1}'=2l+1=1+2\sqrt{2}$
$y_{1}'=-l-3=-3-\sqrt{2}$

barca33 · 17. 02. 2013 10:02

↑ Arabela:
děkuji moc

jelena · 17. 02. 2013 10:28

Zdravím v tématu,

řekla bych, že úloha bude snadnější, pokud po sestavení středové rovnice kružnice se použije vzorec v rovině pro vzdálenost bodu (středu kružnice) od zadané přímky. Je tak? Děkuji.

↑ barca33:

Tvůj styl je okouzlující - vždy z kolegů postupně vyfňukáš celé řešení, aniž bys něco provedla sama. V reálu se to hodí - vážně, pokračuj v nácviku :-) Zdravím.

barca33 · 17. 02. 2013 10:40

↑ jelena:
závidíš nebo co ? ne každý je chytrý jako ty. Někdo hold potřebuje postup rozepsat do detailů a myslím , že je lepší něco pochopit než se to hloupě nabiflovat. :-)) jinak taky zdravím

jelena · 17. 02. 2013 10:48

↑ barca33:

:-) ne, nezávidím - já to také umím - například na úřadech :-) Ale tam oni musí, protože jsou pro mne a děkuji, vždy poradí dobře, protože to opravdu umí - předpisy jsou dnes složité, lepší je 5x zeptat hloupě, než jednou něco vyplnit špatně. Posledně paní byla fakt skvělá.

Někdo hold potřebuje postup rozepsat do detailů a myslím , že je lepší něco pochopit než se to hloupě nabiflovat. :-))

to máš naprostou pravdu o nabiflování - ovšem od toho jsou školy a učebnice, abys pochopila nejdřív princip, nejen postup ke konkrétní úloze - jak to zde používáš.

Zkoušela jsi mé doporučení? Děkuji.

barca33 · 17. 02. 2013 10:53

↑ jelena:
já pokaždé studuji z učebnice bohužel , ani v některých případech mi postup nebyl jasný , tak jsem požádala o radu jinde. Jenže , jak vidím dnes žádat o radu , na to musí mít člověk nejdříve svolení , že ? Příště vám tedy napíšu aby jste byla informovaná zda činám dobře. :-)

jelena · 17. 02. 2013 11:10

↑ barca33:

prosím Tebe, věnuj se úloze:

Určete d tak , aby přímka p: y= 2x+d byla tečnou kružnice s rovnici x^{2}+y^{2}-2x+6y=0. URČETE TÉŽ bod dotyku

a za použití středové rovnice od ↑ Arabela:

$(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=10$ (děkuji). Doporučení:

jelena napsal(a):
řekla bych, že úloha bude snadnější, pokud po sestavení středové rovnice kružnice se použije vzorec v rovině pro vzdálenost bodu (středu kružnice) od zadané přímky. Je tak? Děkuji.

Bude to mít větší efekt. Měj se.

Cheop · 17. 02. 2013 13:13

↑ jelena:
Zdravím:-)
Ano ten Tvůj poslední postup bude nejrychlejší
S=(1,-3) r=sqrt(10)
Řešíme:
$\frac{2x-y+d}{\sqrt 5}=\sqrt{10}$ - dosazením souřadnic středu dostaneme:
$\frac{2+3+d}{\sqrt 5}=\sqrt{10}$
$d^2+10d+25-50=0\\d^2+10d-25=0\\d=-5\pm\,5\sqrt 2$

Matematické Fórum

#1 16. 02. 2013 17:07

kružnice a přímka

#2 16. 02. 2013 17:16

Re: kružnice a přímka

#3 16. 02. 2013 18:20

Re: kružnice a přímka

#4 16. 02. 2013 18:34

Re: kružnice a přímka

#5 16. 02. 2013 19:03

Re: kružnice a přímka

#6 16. 02. 2013 19:12

Re: kružnice a přímka

#7 16. 02. 2013 22:39

Re: kružnice a přímka

#8 16. 02. 2013 22:54 — Editoval Kobleezchek (16. 02. 2013 23:00)

Re: kružnice a přímka

#9 16. 02. 2013 22:57

Re: kružnice a přímka

#10 16. 02. 2013 22:59

Re: kružnice a přímka

#11 16. 02. 2013 23:05

Re: kružnice a přímka

#12 16. 02. 2013 23:37

Re: kružnice a přímka

#13 16. 02. 2013 23:41 — Editoval Kobleezchek (16. 02. 2013 23:41)

Re: kružnice a přímka

#14 16. 02. 2013 23:55

Re: kružnice a přímka

#15 17. 02. 2013 02:33

Re: kružnice a přímka

#16 17. 02. 2013 08:57

Re: kružnice a přímka

#17 17. 02. 2013 09:55 — Editoval Cheop (17. 02. 2013 09:56)

Re: kružnice a přímka

#18 17. 02. 2013 09:58 — Editoval Arabela (17. 02. 2013 10:00)

Re: kružnice a přímka

#19 17. 02. 2013 10:02

Re: kružnice a přímka

#20 17. 02. 2013 10:28

Re: kružnice a přímka

#21 17. 02. 2013 10:40

Re: kružnice a přímka

#22 17. 02. 2013 10:48

Re: kružnice a přímka

#23 17. 02. 2013 10:53

Re: kružnice a přímka

#24 17. 02. 2013 11:10

Re: kružnice a přímka

jelena napsal(a):

#25 17. 02. 2013 13:13

Re: kružnice a přímka

Zápatí