Matematické Fórum

martanko

zdravim :) po dlhsom case mam zas otazky z tejto oblasti..

1) ako dokazaem ze pre kazde cele cislo n je $2.n^6-n^4-n^2$ nasobkom cisla 36 ?? skusal som dosadit a vychadza ze hej.. napadla ma matematicka indukcia.. no asi by sa to snad dalo aj cez kongruencie..vie niekto v tomto poradit?? mala napoveda bola rozlozit si cislo 36 na 9x4 a potom je D(9,4) = 1, a asi to treba urobit potom pre cislo 9 a pre cislo 4 osobitne..neviem

a este tieto 2 slovne ulohy..tu teda fakt netusim:

2) ista organizacia kupila urcity pocet kusov tovaru po 17 euro a cast z nich predala po 49 euro. Pocet kusov povodne zakupeneho tovaru bol medzi 50 a 100 a organizacia mala cisty zisk 245 euro. Kolko kusov tovaru ostalo nepredanych?

3) Najdi vsetky trojciferne cisla, ktore pri deleni cislom 19 maju zvysok 4 a pri deleni cislom 13 maju zvysok 2.

Vdaka :)

lukaszh · 17. 12. 2008 00:53

↑ martanko:
Ja by som to riešil takto (neručím za správnosť :-)
To, že je násobok 36, znamená, že to musí byť deliteľné 36-timi.
$2n^6-n^4-n^2\equiv0\;\pmod{36}$
modulo 36 nebudem písať:

Výraz $(n-1)\cdot n\cdot(n+1)$ je deliteľný troma. Teraz treba dokázať že:
$n(2n^2+1)\equiv0\;\pmod{12}$
Teraz by som vytiahol indukciu lebo už sú menšie mocniny. Tým by bol dôkaz kompletný.

lukaszh

↑ martanko:
Tu by som použil čínsku vetu o zvyškoch:
$n\equiv4\;\pmod{19}\nln\equiv2\;\pmod{13}$
Zostrojím postupnosť:
$\{4;\,4+19;\,4+2\cdot19;\,4+3\cdot19;\,4+4\cdot19;\,\cdots\,;\,4+12\cdot19\}\nl\{4;\,23;\,42;\,61;\,80;\,\cdots\,;\,232\}$
Z nej vyberiem číslo, ktoré po delení 13 dá zvyšok 2.

martanko · 17. 12. 2008 10:38

↑ lukaszh:
dik :) len ta cisnska veta... niekde som uz o nej pocul ale v skole sme to nemali.. tak ani neviem ako vyzera

Pavel · 17. 12. 2008 10:59

↑ martanko:

Ukažme, že výraz $2n^6-n^4-n^2=n^2(2n^2+1)(n-1)(n+1)$ je dělitelný 36 tak, že dokážeme dělitelnost 4 a zároveň dělitelnost 9.

1. Dělitelnost 4:

a) nechť $n$ je sudé, pak $n^2$ je dělitelné 4 a tedy celý výraz je dělitelný 4.

b) nechť $n$ je liché, pak $n-1$ a $n+1$ jsou sudé a tedy celý výraz je dělitelný 4.

Tím je dokázaná dělitelnost 4 pro libovolné celé $n$ .

2. Dělitelnost 9:

a) nechť $n$ je dělitelné 3. Pak $n^2$ je dělitelné 9 a tedy celý výraz je dělitelný 9.

b) nechť $n$ dává zbytek 1 po dělení 3. Pak existuje takové celé číslo k, že $n=3k+1$ a tedy

$n^2(2n^2+1)(n-1)(n+1)=(3k+1)^2[2(3k+1)^2+1](3k+1-1)(3k+1+1)=(9k^2+6k+1)(18k^2+12k+3)(3k)(3k+2)=\nl=9[(9k^2+6k+1)(6k^2+4k+1)k(3k+2)]$

a tedy výraz je dělitelný 9.

c) nechť $n$ dává zbytek 2 po dělení 3. Pak existuje takové celé číslo k, že $n=3k+2$ a tedy

$n^2(2n^2+1)(n-1)(n+1)=(3k+2)^2[2(3k+2)^2+1](3k+2-1)(3k+2+1)=(9k^2+12k+4)(18k^2+24k+9)(3k+1)(3k+3)=\nl=9[(9k^2+12k+4)(6k^2+8k+3)(3k+1)(k+1)]$

a tedy výraz je dělitelný 9.

Tím je dokázaná dělitelnost 9 pro libovolné celé $n$ .

vencaodin · 17. 12. 2008 18:26

zdravím. Pomůže mi tu někdo? Mám problém počítám a pořádse nemůžu dobrat závěru. Mohl by mi někdo poradit? je to diferenciální rce

řešení počáteční úlohy
cosx.siny dx - cosy.sinx dy = 0

jelena · 17. 12. 2008 18:56

↑ vencaodin:

zdravím :-)

pokud bylo samostatné téma, možna by se to podařilo snáz :-)

cosx.siny dx - cosy.sinx dy = 0

cosx.siny dx=cosy.sinx dy (levou a pravou stranu podělíme výrazem siny*sin x)

(cosx/sinx) dx= (cosy/siny) dy a je odseparováno. OK?

Kondr · 17. 12. 2008 19:36

↑ martanko:2) ista organizacia kupila urcity pocet kusov tovaru po 17 euro a cast z nich predala po 49 euro. Pocet kusov povodne zakupeneho tovaru bol medzi 50 a 100 a organizacia mala cisty zisk 245 euro. Kolko kusov tovaru ostalo nepredanych?

3) Najdi vsetky trojciferne cisla, ktore pri deleni cislom 19 maju zvysok 4 a pri deleni cislom 13 maju zvysok 2.

Tyhle dvě úlohy vedou na diofantické rovnice
49y-17x=245
a
19t+4=13u+2, po úpravě 19t-13u=-2.

Tyhle rovnice se řeší pomocí Bezoutovy věty: najdeme koeficienty z Bezoutovy věty pro 49 a -17 a vynásobíme je 245, resp. koeficienty pro 19 a -13 vynásobíme -2.

Čínská zbytková věta říká, že lib. soustava lineárních kongruencí
x=a1 (mod m1)
x=a2 (mod m2)
...
x=a2 (mod mn)
má právě jedno řešení na intervalu (0,m1*m2*....*mn), pokud jsou moduly nesoudělné.
Neříká nám ale, jak ho získat. Na to potřebujeme Bezouta.

Matematické Fórum

#51 17. 12. 2008 00:39 — Editoval martanko (17. 12. 2008 00:41)

Re: teoria cisel

#52 17. 12. 2008 00:53

Re: teoria cisel

#53 17. 12. 2008 00:59 — Editoval lukaszh (17. 12. 2008 00:59)

Re: teoria cisel

#54 17. 12. 2008 10:38

Re: teoria cisel

#55 17. 12. 2008 10:59

Re: teoria cisel

#56 17. 12. 2008 18:26

Re: teoria cisel

#57 17. 12. 2008 18:56

Re: teoria cisel

#58 17. 12. 2008 19:36

Re: teoria cisel

Zápatí