Matematické Fórum

KikM · 17. 02. 2013 14:36

Zdravím, měla bych velkou prosbu, neví si někdo rady s tímto příkladem? Absolutně nevím, čím začít a náčrtky mi nepomáhají. Byla bych moc vděčná za vyřešení.

1)Výška pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV je rovna délce jeho podstavných hran.Vypočtěte odchylku rovin dvou sousedních stěn.

Sama jsme se k nějakému postupu nebo řešení vůbec nedostala, nedokážu s tím pohnout. Děkuju moc všem, kteří na to maličko mrknou, Kristýna.

Aquabellla · 17. 02. 2013 15:15

↑ KikM:

Hledáš velikost úhlu $APC$ , kde $P$ leží na straně $BV$ a zároveň $AP \perp BV$ a $CP \perp BV$ . Trojúhelník $APC$ bude opět rovnoramenný. Délky $AC$ je jasná, to je úhlopříčka ve čtverci v podstavě. Délku $AP$ je potřeba dopočítat, například tak, že využijeme vzorce pro obsah. Platí totiž: $AB \cdot S_{AB} V = AP \cdot BV$ => $AP = \frac{AB \cdot S_{AB} V}{BV}$ .

Aquabellla · 17. 02. 2013 17:27

↑ KikM:

Některé rozměry známe, jiné lze dopočítat.
- $AB = a$
- $BV$ lze spočítat Pythagorovou větou z trojúhelníku $BVS$ , kde $S$ je střed podstavy, $BS$ je polovina uhlopříčky ve čtverci, výška $SV = a$ je daná ze zadání
- $S_{AB} V$ lze spočítat Pythagorovou větou z trojúhelníku $S_{AB} S V$ , kde $SV = a$ , $S_{AB} S = \frac{a}{2}$

Aquabellla · 17. 02. 2013 18:09

↑ KikM:

Ano, vyšlo ti to správně.
Polovinu úhlopříčky si můžeš označit libovolně. Například abychom značili vše stejně, tak třeba $|BS| = \frac{\sqrt{2}}{2}a$

Aquabellla · 17. 02. 2013 19:23

↑ KikM:

Skoro dobře: $|BV| = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)^2 + a^2} = \sqrt{\frac{1}{2}a^2 + a^2} = \sqrt{\frac{3}{2}a^2} = \sqrt{\frac{3}{2}} a$

Ano, $PC = AC$ . Teď dosaď do kosinovy věty, tím vypočítáš velikost úhlu $APC$ , což je hledaná odchylka.

Aquabellla · 17. 02. 2013 22:01

↑ KikM:

Dosadíš to takto:
$|AC|^2 = |AP|^2 + |PC|^2 - 2 \cdot |AP| \cdot |PC| \cdot \cos \varphi$
Vždy je na levé straně délka úsečky naproti úhlu, který počítáme, a na pravé straně jsou délky úseček přilehlých k tomuto úhlu.

Obecný tvar a obrázek kosinové věty je například zde.

Aquabellla · 17. 02. 2013 23:24

↑ KikM:

Ano, $AC = \sqrt{2}a$ . Ale $PC = AP$ !

$AP = \frac{AB \cdot S_{AB} V}{BV} = \frac{a \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} a}{\sqrt{\frac{3}{2}} a} = \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2} \cdot a^2}{2 \cdot \sqrt{3} \cdot a} = \frac{\sqrt{5} \cdot a}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}a$

$2a^2 = \frac56 a^2 + \frac56 a^2 - 2 \cdot \frac56 \cdot \frac56 \cdot a \cdot a \cdot \cos \varphi$
$2a^2 = \frac53 a^2 - \frac{25}{18} \cdot a^2 \cdot \cos \varphi$
$\frac{25}{18} \cdot a^2 \cdot \cos \varphi = -\frac13 a^2$
$\frac{25}{18} \cdot \cos \varphi = -\frac13$
$\cos \varphi = - \frac{6}{25}$ => $\varphi = 103,9°$

jelena · 26. 02. 2013 11:49

Zdravím v tématu,

nový kolega hlásí, že zde je chyba. Zatím jsem chybu nenašla (až na fakt, že odchylka rovin má být menší velikost úhlu dopočtem do 180 stupňů, ovšem "úhel stěn" by požadavek úlohy splnil). Horší je, že kolegyňka ↑ KikM: celé téma promazala, což není OK.

Matematické Fórum

#1 17. 02. 2013 14:36

Odchylky přímek a rovin v prostoru (Stereometrie) 2

#2 17. 02. 2013 15:15

Re: Odchylky přímek a rovin v prostoru (Stereometrie) 2

#3 17. 02. 2013 17:27

Re: Odchylky přímek a rovin v prostoru (Stereometrie) 2

#4 17. 02. 2013 18:09

Re: Odchylky přímek a rovin v prostoru (Stereometrie) 2

#5 17. 02. 2013 19:23

Re: Odchylky přímek a rovin v prostoru (Stereometrie) 2

#6 17. 02. 2013 22:01

Re: Odchylky přímek a rovin v prostoru (Stereometrie) 2

#7 17. 02. 2013 23:24

Re: Odchylky přímek a rovin v prostoru (Stereometrie) 2

#8 26. 02. 2013 11:49

Re: Odchylky přímek a rovin v prostoru (Stereometrie) 2

Zápatí