Matematické Fórum

Romans1 · 18. 02. 2013 01:55

Dve strany trojuholníka majú dĺžky 7 cm a 1 cm.
a) Aký maximálny obsah môže mať trojuholník ?
V trojuholníku s maximálnym obsahom vypočítaj:
b) Sínus jeho najmenšieho uhla.
c) Polomer vpísanej kružnice

a)
vyšlo mi, že je pravouhlý so stranami 1cm,7cm a 3. strana je $\sqrt{50}$ cm a obsah tým padom 3,5 $cm^{2}$
b)Najmenší uhol tým padom bude logicky alfa (beta je predsa pravouhlý)
vypočítame ho $\frac{1}{2}bc\sin a =3.5$
$\sin a =\frac{7}{bc} =\frac{7}{\sqrt{50}}\doteq 0,$

BakyX · 18. 02. 2013 02:13 — Editoval BakyX (18. 02. 2013 02:14)

↑ Romans1:

Ak $a=1$ , $b=7$ , $c=\sqrt{50}$ , tak najmenší uhol je $\alpha$ (oproti menšej strane je zrejme menší uhol)

Platí $\sin \alpha = \frac{a}{c}=\frac{1}{\sqrt{50}}=\frac{\sqrt{2}}{10}$

Cheop · 18. 02. 2013 07:09

↑ Romans1:
Pro poloměr kružnice vepsané pravoúhlému trojúhelniku $\rho$ platí:
$\rho=\frac{a\cdot b}{a+b+c}\\\rho=\frac{1\cdot 7}{1+7+\sqrt{50}}$

BakyX · 18. 02. 2013 08:55

↑ Romans1:

c)

Všeobecne pre polomer $r$ kružnice vpísanej trojuholníku $ABC$ platí

$r=\frac{S}{s}$ , kde $s=\frac{a+b+c}{2}$ a $S$ je obsah.

Skús si to dokázať.

Pre pravouhlý trojuholník sa tento vzťah dá zjednodušiť (aj keď sa to nezdá) na

$r=\frac{a+b-c}{2}$ . (aj to si skús dokázať)

Arabela · 18. 02. 2013 09:00

Ahoj ↑ Romans1:,
to čo píše Cheop, je správne. Ponúkam však ešte iný vzorec pre polomer vpísanej kružnice pravouhlému trojuholníku (ľahko sa odvodí):
$\varrho =\frac{a+b-c}{2}$ .
Podľa neho v našom prípade
$\varrho =\frac{1+7-\sqrt{50}}{2}=\frac{8-\sqrt{50}}{2}$ .
Zdanlivo je to iný výsledok, ako uvádza Cheop, ale usmernením jeho zlomku sa rovnosť výrazov ľahko ukáže.

Matematické Fórum

#1 18. 02. 2013 01:55

Zase trojuhláčik

#2 18. 02. 2013 02:13 — Editoval BakyX (18. 02. 2013 02:14)

Re: Zase trojuhláčik

#3 18. 02. 2013 07:09

Re: Zase trojuhláčik

#4 18. 02. 2013 08:55

Re: Zase trojuhláčik

#5 18. 02. 2013 09:00

Re: Zase trojuhláčik

Zápatí