Matematické Fórum

Google · 16. 02. 2013 17:26

Ahoj, mám problém týkající se fyziky, jedná se o vzorec pro objemovou roztažnost, kdy relativní teplotní změnu objemu vztahujeme na objem $V$ při teplotě $\vartheta$ , tj.
integrací tohoto výrazu $\beta=\frac{1}{V}\cdot \frac{dV}{d\vartheta }$ bych měl dojít k výsledku $V=V_{0}e^{\beta \vartheta }$ .

POZN: $\beta$ je konstantní

Potřeboval bych aby mi někdo napsal postup při integraci, protože takto jsem to řešil já a zřejmě špatně, proto to nevyšlo:
$dV=\beta Vd\vartheta$
$V=\beta \vartheta \int_{V_{0}}^{V}V$
$V=\beta \vartheta (V-V_{0})$
$V=-\frac{\vartheta \beta V_{0}}{1-\vartheta \beta }=V_{0}\cdot \frac{\vartheta \beta }{\vartheta \beta -1}$

Dík předem

Brano · 16. 02. 2013 18:23

Hned v druhom kroku ti nejak zahadne zmenilo $d\theta$ na $\theta$ - to sa neda tak hned zintegrovat ked si tam nechal $V$ co je funkcia zavisiaca od $\theta$ , teda je lepsie ho nechat na lavej strane.

Pre dalsie studium si pozri riesenie diferencialnych rovnic separaciou premennych. V tomto pripade to ma byt takto:
$\frac{dV}{V}=\beta d\vartheta$
$\int\frac{dV}{V}=\beta d\vartheta$
$\ln(V)=\beta\vartheta+C$
$V=e^Ce^{\beta\vartheta}=V_0e^{\beta\vartheta}$

Google · 18. 02. 2013 03:09

↑ Brano:OK, už to chápu. Ale tam na konci proč $e^{C}=V_{0}$ ? Díky

martisek

↑ Google:

Z matematického hlediska je to integrační konstanta, fyzikální význam je jasný, když se za $\vartheta$ dosadí nula - pak je to objem při nulové teplotě.

Brano · 18. 02. 2013 11:22

Resp. takto - $C$ je len konstanta, teda aj $e^C$ je konstanta, tak si ju mozem lubovolne premenovat, napr. $V_0$ a vyznam tohoto pomenovanie je taky ako napisal ↑ martisek: - ak dosadis $\vartheta=0$ dostanes $V=V_0$ .

Matematické Fórum

#1 16. 02. 2013 17:26

Integrál výrazu

#2 16. 02. 2013 18:23

Re: Integrál výrazu

#3 18. 02. 2013 03:09

Re: Integrál výrazu

#4 18. 02. 2013 10:44 — Editoval martisek (18. 02. 2013 10:44)

Re: Integrál výrazu

#5 18. 02. 2013 11:22

Re: Integrál výrazu

Zápatí