Matematické Fórum

Freedy · 19. 02. 2013 17:16

Ahoj,

chtěl bych se zeptat proč se vůbec pí definuje jako:
$\pi =6*arcsin(\frac{1}{2})$

Příjde mi to úplně zbytečný definovat takovouhle řadu když už se to dá definovat normálně jako

$\pi =2*arcsin (1)$

Našel sem to v definich pi. Ale jaksi sem nepochopil proč se tam tohle objevuje. Když už dokáže někdo vypočítat arcsin tak samozřejmě dokáže vypočítat i pí. Takže ta řada mi příjde trochu zbytečná ne? nebo je tam nějaka zaludnost?

martisek

↑ Freedy:

Vtip je v tom, že ten arcsin se rozvine v mocninnou řadu:

$arcsinx =x+ \frac {x^3} {2\cdot 3}+ \frac {1\cdot 3} {2\cdot 4} \cdot \frac {x^5} 5...$

takže třeba

$\pi = 6 arcsin (1/2) =2 \cdot \left( 1/2+ \frac {(1/2)^3} {2\cdot 3}+ \frac {1\cdot 3} {2\cdot 4} \cdot \frac {(1/2)^5} 5...\right)$

A dělá se to kvůli rychlosti konvergence (čím blíž je argument arkusinu k nule, tím rychleji to k tomu pí utíká)

Freedy · 19. 02. 2013 17:37

:D jak to pokračuje? máš tam
$arcsinx =x+ \frac {x^3} {2\cdot 3}+ \frac {1\cdot 3} {2\cdot 4} \cdot \frac {x^5} 5...$

A máš tam + + * a dal to pokračuje jak? ty tečky maj naznačovat opakovani ale z tohodle zapisu moc opakovani nejde vidět

Rumburak

↑ Freedy:

Ahoj.

Obvykle existuje více cest, jak tu kterou partii matematiky budovat metodou "definice - věta - důkaz", podobně je tomu i s číslem $\pi$ .

Asi nejpřirozenější by byla definice "geometrická" definující $\pi$ jako polovinu délky jednotkové kružnice (tj. kružnice o jednotkovém
poloměru). Tato hodnota se dá vyjádřit integrálem:

(1) $\pi = \int_{-1}^1 \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}$ ,

takže rovnici (1) můžeme přijmout za definici čísla $\pi$ .

Pokud ovšem zavedeme funkci

$\arcsin y = \int_{0}^y \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}$ ,

pak rovnice (1), $\pi =6 \,\arcsin(\frac{1}{2})$ , $\pi =2\, \arcsin (1)$ jsou spolu ekvivalentní a v podstatě je jedno, kterou z nich
zvolíme za definici čísla $\pi$ .

martisek

↑ Freedy:

$\pi = 6 arcsin (1/2) =2 \cdot \left( 1/2+ \frac 1 2 \cdot \frac {(1/2)^3} 3+ \frac {1\cdot 3} {2\cdot 4} \cdot \frac {(1/2)^5} 5+ ...+\frac {1\cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \cdot \frac {(1/2)^7} 7+...\right)$

Ale nejhezčí (i když asi nejpomalejší) řada pro pi je

$\pi = 4\cdot \left( 1 - \frac 1 3 + \frac 1 5 - \frac 1 7 + \frac 1 9 -....\right)$

Ale má samozřejmě pravdu Rumburak - k číslu pi se dá dospět mnoha různými způsoby. Nejpřirozenější jsou asi variace s tou kružnicí - třeba "číslo, které udává, kolikrát je kružnice delší než její průměr". Nedostatek takových definic je, že nedávají praktický návod, jak to číslo spočítat. Je totiž třeba nejdříve vědět, co je to délka křivky (což třeba nejde vůbec říct bez integrálů), pak určit délku kružnice a nakonec dospějeme k tomu pi (třeba tím integrálem, co tam má Rumbutrak)...

Matematické Fórum

#1 19. 02. 2013 17:16

řada pro pi

#2 19. 02. 2013 17:29 — Editoval martisek (19. 02. 2013 17:33)

Re: řada pro pi

#3 19. 02. 2013 17:37

Re: řada pro pi

#4 19. 02. 2013 17:37 — Editoval Rumburak (20. 02. 2013 11:40)

Re: řada pro pi

#5 19. 02. 2013 17:52 — Editoval martisek (19. 02. 2013 17:59)

Re: řada pro pi

Zápatí