Matematické Fórum

slavek · 20. 02. 2013 15:07

Chtěl bych si ověřit, zda je postup správný.

Určete počet trojúhelníků (z nichž žádné dva nebudou shodné), které můžete sestavit z úseček délky 3, 4, 5, 6, 7, 8. Kolik těchto trojúhelníků bude rovnoramenných a kolik rovnostranných. (Máme k dispozici alespoň tři úsečky každé z uvedených délek).

počet trojúhelníků by byl 8 nad 3 + počet rovnostranných (6) a rovnoramenných (30). Od toho poté odpočítat trojúh. nerovnost (3 možnosti).

JohnPeca18 · 20. 02. 2013 15:20

Postup asi v poriadku, ale trojuholnikov bude 6 nad 3, keďže máš na výber 6 druhov dĺžok. A trojuholníková nerovnosť tam bude tých možností viac, pre rovnoramenné
4,4,8
3,3,8
3,3,7
3,3,6

A pak taky pro troj. s roznymi stranami, ktere nesplnuji troj. nerovnost

Arabela · 20. 02. 2013 15:59

Ahoj ↑ slavek:,
čo sa týka rôznostranných, tých by bolo ${6\choose 3}=20$ , ak by bola vo všetkých prípadoch splnená trojuholníková nerovnosť. Prípady (3,4,7), (3,4,8) a (3,5,8) však nastať nemôžu, takže rôznostranných je $20-3=17$ .
Rovnostranných bude zjavne $6$ .
Rovnoramenných, ktoré spĺňajú trojuholníkovú nerovnosť, bude
$2{6\choose 2}-4=30-4=26$
(odpočítali sme trojice, ktoré netvoria trojuholník (3,3,6), (3,3,7), (3,3,8) a (4,4,8).
Spolu všetkých bude $17+6+26=49$ .
Kontrola cez kombinácie s opakovaním: všetkých trojíc bude ${8\choose 3}=56$ a odpočítať treba tie, ktoré netvoria trojuholník (tých je 3+4=7). 56-7=49.

slavek · 20. 02. 2013 15:59

↑ JohnPeca18: 8 nad 3 jsem psal jako komb. s opakováním (6 + 3 -1) a trojuh. nerovnost je tedy celkem 7 možností. Jinak počet trojuh. je spravny? Děkuju.

slavek · 20. 02. 2013 16:03

↑ Arabela: $20-3=17$ Díky. Vše jasné. Ten další příspěvek jsem psal, aniž bych si přečetl váš.

Arabela · 20. 02. 2013 17:19

↑ slavek:
Ten príklad nebol zas až taký triviálny...:) Ak by boli dĺžky strán trojuholníka prirodzené čísla z intervalu <n;2n>, boli by trojuholníkové nerovnosti splnené pre všetky trojice čísel. Takto sme museli zisťovať aj to, kedy trojica nie je trojuholník... Ale zvládli sme to...:) Som rada, že je všetko jasné.

vanok · 20. 02. 2013 17:25

Poznamka:
Tu som riesil podobnu ulohu... ktora ti moze byt uzitocna.

Matematické Fórum

#1 20. 02. 2013 15:07

kombinace

#2 20. 02. 2013 15:20

Re: kombinace

#3 20. 02. 2013 15:59

Re: kombinace

#4 20. 02. 2013 15:59

Re: kombinace

#5 20. 02. 2013 16:03

Re: kombinace

#6 20. 02. 2013 17:19

Re: kombinace

#7 20. 02. 2013 17:25

Re: kombinace

Zápatí