Matematické Fórum

polonium

Pěkný večer přeji :) Prosím o kontrolu derivace funkce, jelikož wolfram mi v tomto vůbec nepomohl.
$(\ln {\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}})'$

$=\frac{1}{\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}}\cdot [\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}]'$

$=\frac{1}{\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}}\cdot \frac{1}{2\cdot \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}}\cdot [\frac{1+\sin x}{1-\sin x}]'$

$=\frac{1}{2\cdot \frac{1+\sin x}{1-\sin x}}\cdot \frac{[1+\sin x]'\cdot (1-\sin x)-(1+\sin x)\cdot [1-\sin x]'}{(1-\sin x)^2}$

$=\frac{1}{2\cdot \frac{1+\sin x}{1-\sin x}}\cdot \frac{\cos x\cdot (1-\sin x)+ \cos x\cdot (1+\sin x)}{(1-\sin x)^2}$

$=\frac{\cos x\cdot [(1-\sin x)+ (1+\sin x)]}{2\cdot (1+\sin x)\cdot (1-\sin x)}$

$=\frac{\cos x}{(1+\sin x)\cdot (1-\sin x)}$

Bati · 20. 02. 2013 20:07

Ahoj,
zatím to máš správně.
Wolfram to ale umí taky: http://www.wolframalpha.com/input/?i=De … 9%29%29%29

polonium · 20. 02. 2013 20:35

Mno právě, že jemu vyšel $\sec x$ . Ještě bych chtěl doplnit, že jsem při prvním zadávání prohodil +- u těch sinů.

Bati · 20. 02. 2013 20:40 — Editoval Bati (20. 02. 2013 20:40)

↑ polonium:
No vžďyť jo: $(1+\sin{x})(1-\sin{x})=1-\sin^2{x}=\cos^2{x}$
Ještě napiš podmínky, za kterých to platí a je to celé ok.

polonium

↑ Bati:
Aha, to je to co mi chybělo :)

Takže:
$=\frac{1}{\cos x}=\sec x$

A podmínky se dělají ze zadání, že? Takže:
$x\in (-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$

Ještě k té podmínce. Tady se jedná o interval, na kterém je ta funkce monotóní, že?

Bati · 20. 02. 2013 22:19

Proč by měla být monotónní? Proč brát jen interval, co navrhuješ? Stačí zde vyloučit body, ve kterých ta funkce není vůbec definovaná, což jsou $\frac{\pi}2+k\pi\quad k\in\mathbb{Z}$ , všude jinde ta derivace existuje.

Ještě poznámka: pokud se na tu výslednou rovnost koukneš opačně a zintegruješ jí
$\int\frac1{\cos{x}}\:\text{d}x=\log\sqrt{\frac{1+\sin{x}}{1-\sin{x}}}$ ,
dostaneš celkem známý integrál, který stojí za zapamatování.

Poslední poznámka, $\sqrt{a}= a^{\frac12}$ a $\log{a^b}=b\log{a}$ , což ten příklad docela zjednodušuje.

polonium · 20. 02. 2013 22:29

Takže ten začátek by se dal zjednodušit takhle?
$(\ln {\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}})'=\frac{1}{2}(\ln {\frac{1+\sin x}{1-\sin x}})'$

Brano · 20. 02. 2013 22:52 — Editoval Brano (20. 02. 2013 22:52)

↑ polonium:
Ano alebo este lepsie takto:
$\ln {\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}}=\frac{1}{2}\ln(1+\sin x)-\frac{1}{2}\ln(1-\sin x)$
ale podmienky je treba robit z povodneho vyrazu.

polonium · 21. 02. 2013 10:55

↑ Brano:
Noo jo :) tady je vidět, že se to hodně zjednodušší :)

Matematické Fórum

#1 20. 02. 2013 20:02 — Editoval polonium (20. 02. 2013 20:33)

Derivace funkce

#2 20. 02. 2013 20:07

Re: Derivace funkce

#3 20. 02. 2013 20:35

Re: Derivace funkce

#4 20. 02. 2013 20:40 — Editoval Bati (20. 02. 2013 20:40)

Re: Derivace funkce

#5 20. 02. 2013 21:06 — Editoval polonium (20. 02. 2013 21:08)

Re: Derivace funkce

#6 20. 02. 2013 22:19

Re: Derivace funkce

#7 20. 02. 2013 22:29

Re: Derivace funkce

#8 20. 02. 2013 22:52 — Editoval Brano (20. 02. 2013 22:52)

Re: Derivace funkce

#9 21. 02. 2013 10:55

Re: Derivace funkce

Zápatí