Matematické Fórum

Raptor · 20. 02. 2013 21:42

Dobrý den,
chtěl bych Vás poprosit o pomoc s následujícím příkladem. Počítám ho poněkolikáté, ale zatím mi to stále vychází jinak než ve výsledcích.
Hledal jsem tento příklad i zde na fóru, ale není zde dořešený.

Najděte aritmetickou posloupnost, pro kterou platí: Pro každé $n \in N$ je součet prvních n členů roven trojnásobku druhé mocniny čísla n.

Má to vyjít: $a_{1} = 3$ ; $d =6$

Můj postup: Vím, že hodnota $a_{n} = a_{1} + (n-1)\cdot d$ a $s_{n} = \frac{n}{2} \cdot (a_{1} + a_{n})$ .
Dále je zřejmé, že $s_{n} = 3n^{2}$ , tudíž zde máme ekvivalenci a vzniká nám relace
$3n^{2} = \frac{n}{2} \cdot (a_{1} + a_{n}) /\cdot 2$
$6n^{2} = n \cdot (a_{1} + a_{n})$
$6n^{2} = n \cdot (a_{1} + a_{n}) /: n$
$6n = a_{1} + [a_{1} + (n-1)\cdot d]$
$6n = a_{1} + [a_{1} + (n\cdot d - d)]$
$6n = 2a_{1} +(n\cdot d - d)$

A tady už nevím, jak to dále dopočítat.
Moc děkuji za pomoc a rady.

((:-)) · 20. 02. 2013 21:47

↑ Raptor:

Člen $a_1$ patrí k $n=1$ ...

Raptor · 20. 02. 2013 21:51

↑ ((:-)):
Ale kam to mám "zakomponovat", prosím? Do toho $(n-1)$ si myslím, že ne, protože tam se zapisují ty spodní indexy.
Děkuji za radu :).

Hanis · 20. 02. 2013 21:52

Ahoj,
ta poslední rovnost - n je parametr, porovnáme konstanty u jednotlivých mocnin - protože a_1 a d jsou pro danou posloupnost konstatní:

$6n=nd$
$0=2a_1-d$

(porovnáváme koeficienty u mocnin n).

A teď vyřeš tuto soustavu...

Snad je to srozumitelné.

Arabela · 20. 02. 2013 21:53

Ahoj ↑ Raptor:,
je to zaujímavá úloha. Možno ju však vyriešiť pomerne jednoducho.
$s_{1}=3.1^{2}=3$
$s_{2}=3.2^{2}=12$
$s_{1}=a_{1}$
$s_{2}=a_{1}+a_{2}=s_{1}+a_{2}$
$a_{2}=s_{2}-s_{1}=12-3=9$

$d=a_{2}-a_{1}=9-3=6$

$a_{1}=3, d=6$

Raptor · 20. 02. 2013 21:55

↑ Hanis:
Ahoj, už tomu rozumím. Děkuji moc :).

Raptor · 20. 02. 2013 21:56

↑ Arabela:
Také moc děkuji :).

((:-)) · 20. 02. 2013 21:59 — Editoval ((:-)) (20. 02. 2013 23:18)

↑ Raptor:

Myslela som to ináč, ale možno zle - neviem, či sa dá "sčitovať" jeden člen (prvý) ...

$6n = 2a_{1} +(n\cdot d - d)$

$n=1$ , teda $6= 2a_{1} +(1\cdot d - d)$ , teda $a_1=3$

Raptor · 20. 02. 2013 22:32

↑ ((:-)):
Aha, děkuji :).

Matematické Fórum

#1 20. 02. 2013 21:42

Aritmetická posloupnost

#2 20. 02. 2013 21:47

Re: Aritmetická posloupnost

#3 20. 02. 2013 21:51

Re: Aritmetická posloupnost

#4 20. 02. 2013 21:52

Re: Aritmetická posloupnost

#5 20. 02. 2013 21:53

Re: Aritmetická posloupnost

#6 20. 02. 2013 21:55

Re: Aritmetická posloupnost

#7 20. 02. 2013 21:56

Re: Aritmetická posloupnost

#8 20. 02. 2013 21:59 — Editoval ((:-)) (20. 02. 2013 23:18)

Re: Aritmetická posloupnost

#9 20. 02. 2013 22:32

Re: Aritmetická posloupnost

Zápatí