Matematické Fórum

witc · 21. 02. 2013 16:56

Zdravím,

V excelu mám vynesený exponencialni graf a potřebuji k němu získat rovnici (funkci, které se cca bude blížit), abych mohl z integrovat plochu pod touto křivkou. Jak na to?

Díky za rady.

martisek · 21. 02. 2013 18:17

↑ witc:

Je třeba mít data (tj. body, kterými byl graf prokládán). Pak je možné buď interpolovat (má-li funkce těmito body přesně procházet), anebo aproximovat (má-li funkce vystihovat trend - v případě, že jsou to třeba naměřené hodnoty, které jsou zatíženy chybami).

witc · 21. 02. 2013 18:20

↑ martisek:

Pochopitelně hodnoty z kterých graf vznikl mám. Na přesnosti tolik nesejde, takže můžu i hodnoty aproximovat, ale stejně nevím jak spočítám tu plochu pod křivkou :-) - z jaké funkce udělám integrál?

martisek · 21. 02. 2013 18:33

↑ witc:

To právě záleží na tom, jak ty body vypadají. Je třeba odpovědět řadu otázek. Třeba - kolik těch bodů je? Má to být exponenciální funkce? Pokud ano, jakého má být tvaru? e^ax+b? Nebo jenom třeba e^ax? Nemá to třeba mít jiný základ? Apod.

witc · 21. 02. 2013 19:19

Tady mam graf.

martisek · 21. 02. 2013 20:30

↑ witc:

Takže to vypadá na funkci a*e^(b*t). Mělo by se to dělat tzv. metodou nejmenších čtverců a kdyby se to mělo dělat úplně korektně, bylo by to dost složité - mimochodem ten excel (pokud to tak proložil on) to taky nemá úplně dobře, protože to dělá tak, jak to uděláme my.

Takže návod: Sestav si tabulku: v prvním řádku t[s] (hodnoty označíme x_i, počet měření n) a ve druhém přirozené logaritmy proudu, hodnoty označíme y_i = ln I.

Dále sestav soustavu rovnic pro neznámé A, B:

$A\cdot n + B\cdot \sum x_i = \sum y_i$

$A\cdot \sum x_i + B\cdot \sum x_i^2 = \sum x_i\cdot y_i$

kde $\sum$ součet, např. $\sum x_i=x_1+x_2+...+x_n$ .

Soustavu vyřeš a měl bys pak integrovat funkci A*e^(Bt).

witc · 21. 02. 2013 21:17

↑ martisek:

zkusím udělat, ale vůbec postupu nerozumím :-(, proč mám z proudu dělat logaritmus?? a smysl těch rovnic v soustavě jsem také nepochopil, šlo by to nějak lehce popsat - proč zrovna takto? :-)

martisek · 22. 02. 2013 00:31

↑ witc:

No, jenom skutečně lehce, protože fušujeme dost hluboko do vysokoškolské matematiky. Princip metody nejmenších čtverců ilustruje obrázek:

t_i, y_i jsou naše hodnoty, R hledaná funkce. Tu je třeba najít tak, aby součet čtverců na obrázku byl co nejmenší. Hledáme tedy minimum výrazu

$\sum r_i^2=\sum \left[ y_i - R\left( t_i\right)\right]^2$

V našem případě je $R\left( t_i\right)=a\cdot e^{bt_i}$ , takže

$\sum \left[ y_i - a\cdot e^{bt_i}\right]^2$

Tento výraz nabývá různých hodnot pro různá a, b, je tedy funkcí dvou proměnných - a, b. Hledáme její minimum. K tomu je potřeba funkci zderivovat podle a, tuto derivaci položit rovnu nule, a pak zderivovat podle b a rovněž položit rovnu nule. Dostaneme soustavu dvou rovnic pro dvě neznámé, jejím řešením pak hledané hodnoty a, b.

Pro funkci v tomto tvaru by však soustava byla nelineární a velmi těžko řešitelná, proto si pomůžeme tím logaritmováním. Tím totiž přejde ta exponenciála v přímku:

$I=a\cdot e^{bt}\Rightarrow ln I = lna+b\cdot t =A + B.t$

Soustava, kterou dostaneme předchozím postupem, je teď pro neznámé A, B lineární (je to ta, kterou jsem napsal) a relativně snadno řešitelná.

Zkuste se s tím poprat, když tak pište nějaké mezivýsledky a nějak to dáme dohromady :-)

Creatives

Ještě lze použít metodu vybraných bodů. Vybereš dvě pozorování z čas. řady. Jedno ze začátku a druhé z konce
Označme je $Y_{t_{0}}$ a $Y_{t_{0}+m}$
sestavíš rovnici
$Y_{t_{0}}=\bar{a_{0}}\bar{a_{1}}^{t_{0}}$
$Y_{t_{0}+m}=\bar{a_{0}}\bar{a_{1}}^{t_{0}+m}$
a
$\frac{Y_{t_{0}+m}}{Y_{t_{0}}}=\bar{a_{1}}^m$

To mají být stříšky(odhady) ale nevím jak se dělají hehe

a získáš odhady:
$\bar{a_{0}}=\frac{Y_{t_{0}}}{\bar{a_{1}}^{t_{0}}}$
$\bar{a_{1}}=\sqrt[m]{\frac{Y_{t_{0}+m}}{Y_{t_{0}}}}$

Exp. trend:
$T(t)=a_{0}a_{1}^{t}$

Jinak tu metodu log transformace bych moc nedoporučoval, poněvadž není až tak přesná a odhady nejsou konzistentní, když už tak, tak je lepší použít metodu nejmenších vážených čtverců, ale to se mi tu už teď nechce vypisovat, ale jestli by si to opravdu potřeboval tak dopíšu . .

ale tohle vše už není SŠ..

martisek · 22. 02. 2013 09:24

↑ Creatives:

Ono to vůbec celé není SŠ. Tím logaritmováním to samozřejmě trochu ustřelí, ale jak se tak dívám na ten excelovský obrázek, vypadá to, že to excel dělá taky tak a ještě k tomu blbě.

Creatives · 22. 02. 2013 09:42

↑ martisek:
Tak pokud už mám vzorečky a dosazuju, tak to by SŠ měl zvládnout, ale pokud se bavíme a výpočtu normálních rovnic (derivování atd) tak to už pochybuju. My sme třeba derivace ani integrály na SŠ neměli..

martisek · 22. 02. 2013 09:48

↑ Creatives:

Dal jsem to sem právě proto, že dosazování už by neměl být problém, ale dost se divím, že na střední škole chtějí metodu nejmenších čtverců...

Creatives · 22. 02. 2013 09:51

↑ martisek:
No, teď koukám, že autor na VŠ chodí. .

jelena · 22. 02. 2013 09:55

↑ martisek:, ↑ Creatives:

Zdravím, přesunu do VŠ.

martisek · 22. 02. 2013 10:06

↑ jelena: ↑ witc:

No jo, já jsem se taky va to VŠ podíval až teď. Tak to bychom to měli zvládnout i bez těch ne zcela korektních logaritmů :-)

martisek · 23. 02. 2013 09:20

↑ witc:

Tak jsem se na trochu díval - při minimalizaci funkce

$\sum \left[ y_i - a\cdot e^{bt_i}\right]^2 (1)$

po logaritmování vychází a = 1,764; b = -0.008410 a graf plus mínus zhruba tak, jak je to tam z toho Excelu:

což je (jak se dalo čekat), opravdu dost ustřelené. Nicméně [a;b] = [1,764; -0.008410] je dobrým startovním bodem pro upřesnění některou numerickou metodou - nejlépe asi gradientní (tam by mohl stačit jeden krok). Tedy - spočítat gradient funkce (1) v bodě [a;b] = [1,764; -0.008410] a spočítat minimum proti směru tohoto gradientu.

Matematické Fórum

#1 21. 02. 2013 16:56

Opis (popis) funkce grafu

#2 21. 02. 2013 18:17

Re: Opis (popis) funkce grafu

#3 21. 02. 2013 18:20

Re: Opis (popis) funkce grafu

#4 21. 02. 2013 18:33

Re: Opis (popis) funkce grafu

#5 21. 02. 2013 19:19

Re: Opis (popis) funkce grafu

#6 21. 02. 2013 20:30

Re: Opis (popis) funkce grafu

#7 21. 02. 2013 21:17

Re: Opis (popis) funkce grafu

#8 22. 02. 2013 00:31

Re: Opis (popis) funkce grafu

#9 22. 02. 2013 00:45 — Editoval Creatives (22. 02. 2013 00:53)

Re: Opis (popis) funkce grafu

#10 22. 02. 2013 09:24

Re: Opis (popis) funkce grafu

#11 22. 02. 2013 09:42

Re: Opis (popis) funkce grafu

#12 22. 02. 2013 09:48

Re: Opis (popis) funkce grafu

#13 22. 02. 2013 09:51

Re: Opis (popis) funkce grafu

#14 22. 02. 2013 09:55

Re: Opis (popis) funkce grafu

#15 22. 02. 2013 10:06

Re: Opis (popis) funkce grafu

#16 23. 02. 2013 09:20

Re: Opis (popis) funkce grafu

Zápatí