Matematické Fórum

Hanulefl

Prosím moc si s tím nevím rady. Která jsou spárvně prosím :)

Které z funkčních posloupností konvergují stejnoměrně na I (-1;1)

1) $(\frac{x-1}{2})^n$

2) $(\frac{x+1}{3})^n$

3) $(\frac{x+1}{2})^n$

4) $(\frac{x-1}{4})^n$

5) $arctg(nx)$

6) $(2x)^n$

7) $arctg(x+n)$

Děkuji moc

Wellcosh · 21. 02. 2013 23:22

2, 4, 7

Hanulefl · 22. 02. 2013 18:09

A podle čeho usuzujete prosím :) já si je nakrešlím a i vypočítám limitu ale nevim vím že sup(fn(x)-f(x))=0

martisek

↑ Hanulefl:

Tady stačí víceméně jen uvažovat. Jsou to všechno spojité funkce, konvergence bude stejnoměrná právě tehdy, když i "nekonečný součet" bude spojitý.

Vezměme druhý případ: na <-1;1> umocňujeme do nekonečna číslo v abs. hodnotě menší než jedna. Výsledkem je f(x)=0, což je spojitá fce.

A třeba pátý: pro x<>0 a n k nekonečnu je f(x) = +- pi/2, ale f(0)=0. f je nespojitá.

user · 22. 02. 2013 19:24 — Editoval user (22. 02. 2013 19:49)

Ahoj,
všechny s $\left(\frac{ax+b}{c} \right)^n$ jsou v podstatě převeditelné na známé $x^n \stackrel{\langle-1,1\rangle}{\not \rightrightarrows}$ , resp. $x^n \stackrel{\langle-1+\varepsilon,1-\varepsilon\rangle}{\rightrightarrows}$ . U ostatních lze použít naznačený argument spojitosti: $f$ nespojitá a $f_n$ spojité implikuje nestejnoměrnou konvergenci.

Při vyšetření supréma $\sup_{x \in A}|\underbrace{f_n(x)-f(x)}_{g_n(x)}|$ používá:
Nalezneš extrém funkce $g_n(x)$ (v závislosti na n), pokud je to maximum a pro nekonečně mnoho n padne do intervalu A, dosadíš ho místo x a zkoumáš $\lim_{n \to +\infty}|f_n(x_n^{max})-f(x_n^{max})|$ . Pokud tam maximum nepadne, tak víš, že funkce nabývá maxima na kraji intervalu, takže vyšetříš suprémum pro krajní body (máš už derivaci, takže když je funkce $g_n(x)$ rostoucí, stačí dosadit pravý krajní bod atd.). Pokud pak vyjde limita supréma nula, ukázala jsi stejnoměrnou konvergenci.
Pro vyvrácení stejnoměrné konvergence stačí za x dosadit libovolné číslo uvnitř intervalu, pro které nevyjde limita nula.

Brano · 22. 02. 2013 19:51

martisek napsal(a):
↑ Hanulefl:
Tady stačí víceméně jen uvažovat. Jsou to všechno spojité funkce, konvergence bude stejnoměrná právě tehdy, když i "nekonečný součet" bude spojitý.

Toto bohuzial nie je pravda. V prvom rade sa nejedna o rady, ale iba o postupnosti, ale to je detail. Da sa najst postupnost spojitych funkcii, ktora bodovo konverguje na kompaktnom intervale k spojitej funkcii, ale nekonverguje rovnomerne.
$f_n= \begin{cases} nx & \text{ if }x\in\left[0,\frac{1}{n}\right]\\ 2-nx & \text{ if }x\in\left[\frac{1}{n},\frac{2}{n}\right]\\ 0 & \text{ if }x\in\left[\frac{2}{n},1\right] \end{cases}$

Matematické Fórum

#1 21. 02. 2013 22:04 — Editoval Hanulefl (21. 02. 2013 22:11)

Stejnoměrná konvergence

#2 21. 02. 2013 23:22

Re: Stejnoměrná konvergence

#3 22. 02. 2013 18:09

Re: Stejnoměrná konvergence

#4 22. 02. 2013 18:21 — Editoval martisek (22. 02. 2013 18:23)

Re: Stejnoměrná konvergence

#5 22. 02. 2013 19:24 — Editoval user (22. 02. 2013 19:49)

Re: Stejnoměrná konvergence

#6 22. 02. 2013 19:51

Re: Stejnoměrná konvergence

martisek napsal(a):

Zápatí