Matematické Fórum

šidlo · 22. 02. 2013 19:35

Prosím o nápovědu, jak dál.
Indukcí mám dokázat: $(\forall n\in \mathbb{N}): \frac{1}{n}+\frac{3}{n}+\frac{5}{n}+...+\frac{2n-1}{n}=n$

Indukční předpoklad pro člen n+1
$\frac{1}{n}+\frac{3}{n}+\frac{5}{n}+...+\frac{2n-1}{n}+\frac{2n+1}{n+1}=n+1$
Po dosazení:
$n+\frac{2n+1}{n+1}=$
Nevím, jak dál upravit. Úpravami by mi mělo vyjít n+1.

Arabela · 22. 02. 2013 19:43

Ahoj ↑ šidlo:,
indukčný predpoklad pre n:
$\frac{1}{n}+\frac{3}{n}+\frac{5}{n}+...+\frac{2n-1}{n}=n$
Potrebujeme dokázať, že za platnosti tohoto predpokladu bude splnené aj:
$\frac{1}{n+1}+\frac{3}{n+1}+\frac{5}{n+1}+...+\frac{2n-1}{n+1}+\frac{2n+1}{n+1}=n+1$

šidlo · 22. 02. 2013 19:57

↑ Arabela: Jak se postupuje dál?

Arabela · 22. 02. 2013 20:12

↑ šidlo:
je to zložitejšie.
Ja Ti odporúčam dokázať matematickou indukciou, že platí
$1+3+5+...+(2n-1)=n^{2}$ ,
čo sa dokáže pomerne jednoducho, a potom rovnosť vydeliť n...

((:-)) · 22. 02. 2013 20:32 — Editoval ((:-)) (22. 02. 2013 20:37)

↑ šidlo:

Princíp matematickej indukcie:

1. krok

presvedčíš sa, že pre n=1 rovnosť platí

2. krok

p r e d p o k l a d á š, že platí pre nejaké prirodzené číslo k

3. krok

dokážeš, že z a d a n é h o p r e d p o k l a d u platí rovnosť aj pre k + 1 (teda číslo nasledujúce hneď za k)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tvoja úloha:

1. presvedčíš sa

2. Predpokladáš: $\frac1k+\frac3k +\cdots + \frac{2k-1}{k}=k$

3. Na základe tohto predpokladu ukážeš ...

Tento predpoklad podľa mňa znamená, že ak celú rovnosť, ktorú pokladáme za pravdivú vynásobíme číslom k, tak dostaneme

$\color{red}1 + 3 +\cdots + (2k-1) = k^2$

Toto použijeme na dokázanie požadovanej rovnosti pre k+1 (miesto n teraz všade píšeš k+1):

$\frac1{k+1}+\frac3{k+1}+\cdots+\frac{2k-1}{k+1} + \color{blue}\frac{2(k+1)-1}{k+1}\color{black}=\frac{\color{red}1+3+\cdots+2k-1\color{black}+2k+2-1}{k+1}$

Z indukčného predpokladu platí $\color{red}1+3+\cdots+2k-1 = k^2$

Po dosadení:

$\frac{\color{red}k^2\color{black}+2k+1}{k+1}=\frac{(k+1)(k+1)}{k+1}=\color{magenta}k+1$

čbtd

šidlo · 22. 02. 2013 20:32

↑ Arabela:
Já mohu vynásobit celou rovnici ze zadání n, a pak dokazovat toto pro n+1?
$1+3+5+...+(2n-1)+(2n+1)=(n+1)^{2}$

Arabela

↑ šidlo:
áno, presne tak... Tento postup nie je priam najkorektneejší, ale možno ho uznať. Navyše je veľmi vhodný pre "začiatočníka" v matematickej indukcii, lebo riešenie je veľmi prehľadné.
Inak, z metodického hľadiska je vhodnejšie v indukčnom predpoklade použiť k namiesto n - i toto napomáha sprehľadneniu celého riešenia.

Dana si dala tú prácu a rozpísala najkorektnejší prístup k riešeniu úlohy. Odporúčam preštudovať...

Matematické Fórum

#1 22. 02. 2013 19:35

Důkaz matematickou indukcí

#2 22. 02. 2013 19:43

Re: Důkaz matematickou indukcí

#3 22. 02. 2013 19:57

Re: Důkaz matematickou indukcí

#4 22. 02. 2013 20:12

Re: Důkaz matematickou indukcí

#5 22. 02. 2013 20:32 — Editoval ((:-)) (22. 02. 2013 20:37)

Re: Důkaz matematickou indukcí

#6 22. 02. 2013 20:32

Re: Důkaz matematickou indukcí

#7 22. 02. 2013 20:33 Příspěvek uživatele šidlo byl skryt uživatelem šidlo. Důvod: už není nutné

#8 22. 02. 2013 20:56 — Editoval Arabela (22. 02. 2013 20:58)

Re: Důkaz matematickou indukcí

Zápatí