Matematické Fórum

Olínečka · 23. 02. 2013 10:11

Ahoj, mám tu tuto nerovnici a nevím, jak zjistit definiční obor.
$\sqrt{\frac{x+4}{2x-1}}$
Postupovala jsem takto:
4+x >= 0
x >= -4
$D_{1} = <-4;\infty )$
2x-1 > 0
x > 1/2
$D_{2} = (1/2;\infty )$
$D = D_{1}\cap D_{2}=(1/2;\infty )$

Má to vyjít $D = (-\infty;-4>\cup (1/2;\infty )$

cutrongxoay · 23. 02. 2013 10:29

Ahoj,
muj postup reseni:
- urci si podminku pro ${\frac{x+4}{2x-1}}$
- na osu si vynes nulove body jak citatele tak i jmenovatele
- nulove body jsou 2, takze jsou 3 intervaly
- na tech intervalech si zvol zkusebni bod a dosad do toho vyrazu ${\frac{x+4}{2x-1}}$ a zjisti znamenka (plus nebo minus) ...tim mas vyreseny def. obor

Blackflower · 23. 02. 2013 10:29

↑ Olínečka: To, čo si vypočítala, je dobre, ale treba si uvedomiť, že výraz pod odmocninou bude kladný, ak má čitateľ aj menovateľ rovnaké znamienka - čiže oba výrazy môžu byť aj záporné.

Rumburak

↑ Olínečka:

Ahoj,

... mám tu tuto nerovnici ...

Patrně jsi chtěla napsat "... mám tu tuto FUNKCI ..." .

Myslím, že bude užitečné podívat se na problém obecněji. Mějme funkce $f, g$ s definičními obory $D_f, D_g$ .
Z těchto funkcí chceme složit funkci $h(x) := g(f(x))$ a ptáme se, pro která $x$ má tento předpis smysl, neboli
pro která $x$ má smysl výraz $g(f(x))$ . (To je obsahem požadavku "určete definiční obor naší funkce $h$ ".)

Především musí mít smysl výraz $f(x)$ , což je ekvivalentní s podmínkou $x \in D_f$ .
Podobně výraz $g(y)$ má smysl, právě když $y \in D_g$ .

Shrneme-li obě tyto úvahy, dostáváme:

výraz $g(f(x))$ má smysl tehdy a jen tehty, když $x \in D_f \wedge f(x) \in D_g$ .

Aplikováno na případ funkcí $f(x) = \frac{x+4}{2x-1}$ , $g(y) = \sqrt{y}$ dostáváme:

$D_f = \mathbb{R} - \{\frac{1}{2}\}$

(předokládáme, že funkci $f$ uvažujeme v reálném oboru, zároveň jmenovatel zlomku nesmí být $0$ ),

$D_g = \langle 0, +\infty )$

(druhou odmocninu máme definovánu pouze z nezáporných čísel).

Takže pro funkci $h(x) = \sqrt{\frac{x+4}{2x-1}}$ bude $D_h$ obshovat právě taková $x \in \mathbb{R}$ , která vyhovují podmínkám

(1) $x \ne \frac{1}{2}$ a zároveň $\frac{x+4}{2x-1} \ge 0$ .

Nerovnici $\frac{x+4}{2x-1} \ge 0$ můžeme efektivně řešit i tak, že ji vynásobíme výrazem $(2x-1)^2$ , který je vždy nezáporný
(takže po tomto vynásobení se znaménko nerovnosti neotočí) a dostaneme tak nerovnici $(x+4)(2x-1) \ge 0$ ,
čímž je úloha převedena na kvadratickou nerovnici.

Nesmíme ale zapomenout na první podmínku z (1).