Matematické Fórum

Marwin23 · 23. 02. 2013 15:19

Dobrý den,
potřeboval bych poradit, případně zda výsledky dle mého rozhodnutí budou špatně, vysvětlit homogenní rovnice u DR.

Příklad:
Vyberte všechny homogenní lineární diferenciální rovnice prvního řádu pro neznámou funkci u(t):

a) u' +2u = cos t + t^2
b) 4u*sin t = u'
c) u' + u + t = 0
d) u' = u + t^2 + 1
e) u' + 3u - sin t = 0
f) (u' + u)/3 = t

Dle mého názoru, je homogenní rovnice tohoto cvičení jen jedna a to bod B). Jelikož vím, že homogenní rovnice vznikají, když pravá strana je po ruzných upravách rovna 0.
Ale potřeboval bych poradit od znaleckého oka zda mám pravdu či nikoliv.

Předem děkuji za odpověď

martisek · 23. 02. 2013 15:36

↑ Marwin23:

Homogenní je b. Nalevo přijdou členy s neznámou funkcí, napravo funkce známé. Teprve až když je tam místo těch "známých fumkcí" nula, tak je to homogenní.

found · 24. 02. 2013 00:02 — Editoval found (24. 02. 2013 00:04)

↑ Marwin23:

Abych ti trošku dotaz zodpověděl na úrovni, asi by to chtělo vědět, že obecně je nějaká lineární ODR, právě když se dá zapsat jako

$\sum_{k=0}^n a_k(x)u^{(k)}(x) = f(x).$

Homogenní rovnicí poté označíme případ, kdy $f(x) = 0$ . Homogenní rovnici si můžeš také představit tak, že existuje triviální řešení $u(x) = 0$ , což by pro $f(x) \neq 0$ řešením nebylo.

Pokud tedy určuje, která z rovnic je homogenní, snažíš se vždycky hledat takové rovnice, kde nejsou žádné členy bez funkce $u(x)$ , kterou zkoumáš.

a) vidíš, že zde se vyskytuje $f(t) = \cos t + t^2$ , tedy není homogenní (je ale se speciální pravou stranou)
b) vidíš, že zde $f(t) = 0$ , tedy je homogenní
c) vidíš, že zde $f(t) = -t$ , tedy není homogenní, což je speciální pravá strana
d) $f(t) = t^2 + 1$ , tedy není homogenní, ale opět speciální pravá strana
e) $f(t) = \sin t$ , tedy není homogenní, ale opět speciální pravá strana
f) $f(t) = 3t$ nebo $f(t) = t$ , tak jako tak ale není homogenní, ale opět je zde speciální pravá strana.

Pokud nevíš, co je speciální pravá strana (asi se tohle značení bude používat i jinak), pak nemáš moc důvod to dál zkoumat (ale všechny by se daly jednoduše vyřešit).

Pozor ale na jiný pojem homogenity. V tomhle případě se s ním nesetkáš, avšak obecně ODR prvního řádu nazýváme homogenní, pokud rovnice ve tvaru $u' = f(u,t)$ splňuje, že $f(\lambda u, \lambda t) = f(u,t)$ pro každé $\lambda \neq 0$ reálné.

Je vidět, že v případě b) platí

$u' = f(u,t) = 4u\sin t$

tedy

$f(\lambda u, \lambda t) = 4\lambda u\sin\lambda t$ , což dle mého není to samé jako $f(u,t)$ , takže z tohohle pohledu rovnice homogenní není (možná se ale dá tento výraz upravit, aby platila homogenita i téhle definice, jen já to teď nevidím). Každopádně tedy pozor na dvě definice homogenní ODR. :)

Jimmy

Edit: Doporučuji si přečíst tato skripta, o homogenních rovnicích se mluví na straně 4 a 6. http://www.karlin.mff.cuni.cz/~prazak/v … /kap12.pdf

Matematické Fórum

#1 23. 02. 2013 15:19

Diferenciální rovnice (homogenní rovnice 1. řádu)

#2 23. 02. 2013 15:36

Re: Diferenciální rovnice (homogenní rovnice 1. řádu)

#3 24. 02. 2013 00:02 — Editoval found (24. 02. 2013 00:04)

Re: Diferenciální rovnice (homogenní rovnice 1. řádu)

Zápatí