Matematické Fórum

American_pie · 23. 02. 2013 22:11

Dobry den, prosim Vas, vedeli by ste mi poradit, jak na racionalni parametrizaci krivky: y^2 = x^3 ?? Nevim si s tým rady. Moc dekuji

martisek · 23. 02. 2013 22:29

↑ American_pie:

x = t^2
y = t^3

American_pie · 23. 02. 2013 22:49

aha, dekuji, a to sa da zistit len stylom "kouknu a vidim" ?? Jak pak postupit pri zlozitejšom prikladu , kde mam y^2 - x^3 - x^2 ?? Mohli by ste mi prosim dat napovedu? Dakujem

American_pie · 23. 02. 2013 22:56

ja som toto vyriešil ako x = t^2 - 1 , y =t^3 -t .. moze to byt?

American_pie · 23. 02. 2013 23:03

ale ked mam zložitejšiu, kde mi nejde explicitne vyjadrit ypsilon ako funcki x, tak ako mam postupovat? konkretne priklad: x^3 - y^3 - 3xy = 0.

Bati · 23. 02. 2013 23:38

Ahoj,
potřebuješ najít funkce x(t) a y(t), aby platila ta rovnice, co máš. Můžeš se na to dívat jako na soustavu rovnic: Máš celkem tři neznámé x,y,t a jednu rovnici. Abys mohl vyjádřit x a y jen pomocí t, potřebuješ ještě jednu rovnici. Co ti brání si tu rovnici libovolně vymyslet? Skoro nic, stačí jen, aby měla jedno řešení pro každý bod [x,y], jinak bys mohl přijít o nějaké body té křivky. Takže si tu rovnici zvolíš tak, aby se ti výsledná soustava řešila co nejjednodušeji. Může to být třeba rovnice

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Brano · 23. 02. 2013 23:41 — Editoval Brano (24. 02. 2013 14:20)

↑ American_pie:
to veru nemoze :-)
dosad to do povodneho zadania $x^3=y^2$ a nedostanes vyraz co plati vzdy.

edit: teraz som si uvedomil, ze moj pispevok je trochu odveci, lebo sa otazka vztahovala na pozmenene zadanie

Jozef3 · 24. 02. 2013 12:30

↑ Bati:
Děkujeme za nápovědu.
Jak je to pak ale s dělením nulou při vyjadřování x z této soustavy rovnic??
Když totiž v rovnici y^2 - x^3 - x^2 = 0 zvolíme y=xt, tak dostaneme: x^2t^2 - x^3 -x^2 = 0. Tuto rovnici bycom rádi vyděli členem x^2, abychom pak snadno vyjádřili x. Můžeme toto ovšem udělat? Co když x=0?

Navíc když tuto substituci uděláme v příkladě x^3 - y^3 - 3xy = 0, tak po [prav8ch dostaneme rovnost x(t-1) =0.
Můžeme tady vydělit členem (t-1), abychom dostali x? Co v případě, že t=1?
Díky za odpověď.

Jozef3 · 24. 02. 2013 12:35

Omlouvám se za chyby. V tom druhém případě po úpravách samozřejmě dostaneme x(1-t) = 3t. Můžeme však vydělit členem (1-t), abychom dostali výsledek $x=\frac{3t}{1-t}$ ?

Bati · 24. 02. 2013 13:18 — Editoval Bati (24. 02. 2013 13:27)

↑ Jozef3:
To, že pro t=1 to není definováno není v podstatě problém, jde jen o to, aby ta parametrizace měla obor hodnot celé R, protože za x je také možno zvolit libovolné reálné číslo. Ono se to vlastně jen přezobrazí - kdyby sis představil reálnou osu tak, že ji ohneš do kruhu a spojíš přes + a - nekonečno, tak bod t=1 odpovídá přesně tomuto "spoji".

A ještě pozor, dostaneš tam (1-t^3), ne jenom (1-t).

martisek · 24. 02. 2013 13:40

↑ American_pie:

Problém parametrizace křivky je obecně velmi složitá věc. Je-li to něco jako y^2 = x^3, tak to jde opravdu jenom o to kouknout a uvidět. Obecný postup popsal ↑ Bati:, ale právě že obecně se to dělá velmi těžko. Substituce y=tx, kterou tam má, vede třeba k patrametrizaci křivky zvané Descartův list. Tu měl zřejmě na mysli ↑ Jozef3:, když uváděl příklad x^3-y^3-3xy=0. Descartův lis je ovšem x^3+y^3-3xy=0 (proto to nevyšlo).

Brano · 24. 02. 2013 14:53 — Editoval Brano (24. 02. 2013 15:16)

Krivka $x^3-y^3-3xy=0$ je velmi pekna - je fajn si ju nakreslit a ak na to nase sili nestacia, mozme pouzit W|A a z obrazku sa da nahliadnut, ze by nam mohli pomoct polarne suradnice - t.j.
$x=r\cos\varphi$ a $y=r\sin\varphi$
teda
$r^3\cos^3\varphi-r^3\sin^3\varphi-3r^2\cos\varphi\sin\varphi=0$
a vyjadrime
$r=\frac{3\cos\varphi\sin\varphi}{\cos^3\varphi-\sin^3\varphi}$
toto je explicitne vyjadrenie v polarnych suradniciach - len si treba dat pozor na definicny obor $\varphi$ - znova mozme pouzit W|A - a vidime, ze na $[0,2\pi]$ nas zaujima iba ten stredny kopcek (treba porovnat s prvym obr.) - hranice urcime z podmienky $\cos^3\varphi-\sin^3\varphi=0$ a z cirej lenivosti znova W|A
a dostavame
$\varphi\in\left[2\arctan\left(\sqrt{2}-1\right),2\pi-2\arctan\left(\sqrt{2}+1\right)\right]$
no a uz iba dosadit nase explicitne vyjadrenie v polarnych suradniciach do ich definicie a dostavame parametricke vyjadrenie krivky
$x=\frac{3\cos^2\varphi\sin\varphi}{\cos^3\varphi-\sin^3\varphi}$
$y=\frac{3\cos\varphi\sin^2\varphi}{\cos^3\varphi-\sin^3\varphi}$
a overme znova vo W|A - to je ked nezadame spravne rozsah parametra - a spravne to je takto.

Potom to vyjadrenie ktore robite sa da urobit tak, ze citatel aj menovatel $x$ aj $y$ sa predeli $\sin^3\varphi$ a zavedie sa $t=\cot\varphi$ .

PS: Odvodenie cez Batiho hint je samozrejme omnoho jednoduchsie, ale podla mna prist na napad $x=ty$ je zlozitejsie ako prist na napad "pozrime ako to je v polarnych suradniciach" co je velmi standardny trik.

PPS: Krivka $x^3+y^3-3xy=0$ je velmi podobna.

American_pie

aha, dakujem, no a teda v tom poslednom pripade x^3 - y^3 - 3xy = 0 mne vyslo, že:
$x=\frac{-3t}{t^3 -1}; y = \frac{-3t^2}{t^3 -1}$ (použil som tedy substituci y = x.t)
Može to byť aj tak?? A teda napisem že je to pro každé t (to jest aj pre t = 1 ) Jo?

Bati · 24. 02. 2013 21:22

↑ American_pie:
Ano, parametrizace je správně.
Bod 1 ale musíš každopádně vyloučit, jinak bys dělil nulou. Jde o to, jak se to chová blízko něj. Představ si to, jako by bod t=1 reprezentoval nekonečno. Je hodně užitečný si to nakreslit a zjistit si, pro která t to vykreslí kterou část grafu. Pro lepší obrázek je dobré si spočítat derivaci a směrnici v každém bodě.

Matematické Fórum

#1 23. 02. 2013 22:11

racionalni parametrizace

#2 23. 02. 2013 22:29

Re: racionalni parametrizace

#3 23. 02. 2013 22:49

Re: racionalni parametrizace

#4 23. 02. 2013 22:56

Re: racionalni parametrizace

#5 23. 02. 2013 23:03

Re: racionalni parametrizace

#6 23. 02. 2013 23:38

Re: racionalni parametrizace

#7 23. 02. 2013 23:41 — Editoval Brano (24. 02. 2013 14:20)

Re: racionalni parametrizace

#8 24. 02. 2013 12:30

Re: racionalni parametrizace

#9 24. 02. 2013 12:35

Re: racionalni parametrizace

#10 24. 02. 2013 13:18 — Editoval Bati (24. 02. 2013 13:27)

Re: racionalni parametrizace

#11 24. 02. 2013 13:40

Re: racionalni parametrizace

#12 24. 02. 2013 14:53 — Editoval Brano (24. 02. 2013 15:16)

Re: racionalni parametrizace

#13 24. 02. 2013 14:54 — Editoval American_pie (24. 02. 2013 14:54)

Re: racionalni parametrizace

#14 24. 02. 2013 21:22

Re: racionalni parametrizace

Zápatí