Matematické Fórum

esss · 22. 02. 2013 21:14

Ahojte. Mám problém s řešením této úlohy:
Rotační kužel a rotační válec mají společnou podstavu. Vrchol kužele leží ve středu horní podstavy válce. Vypočítejte odchylku osy kužele od jeho strany (v radiánech i ve stupních, minutách a vteřinách), jsou-li povrchy válce a kužele v poměru a : b. Úlohu vyřešte nejprve obecně, včetně podmínek, číselných oborů i příslušných jednotek. Konkrétní řešení pak vypočítejte pomocí MATLABu s přesností na čtyři desetinná místa, jestliže a = 7,7; b = 4,2.

Celkové řešení by mělo splňovat tato kritéria...
- obecné řešení (odvozené vzorce obsahující POUZE zadané veličiny),
- podmínky (řešitelnosti, teoretické i praktické) a číselné obory,
- jednotky (SI i doporučené),
- konkrétní řešení (přesně dosazením do odvozených vzorců a přibližně pomocí MATLABu s přesností na čtyři desetinná místa).

Ze začátku jsem dala do poměru a/b = povrch válce/kužele.
po vykrácení mi vyšlo:
$\frac{a}{2b}=\frac{r+v}{r+s}$
úprava:
$\frac{a}{2b}=\frac{\frac{1}{r}}{\frac{1}{r}} \frac{1+\frac{v}{r}}{1+\frac{s}{r}}$

pak jsem si vyjádřila:
$\sin \alpha =\frac{r}{s}$
$\text{cotg}\alpha =\frac{v}{r}$

dosazení
$\frac{a}{2b}=\frac{1+\text{cotg}\alpha }{1+\frac{1}{sinx}}$
úprava
$\frac{a}{2b}=\frac{\sin \alpha +\cos \alpha }{\sin \alpha +1}$

pak to roznásobím a vyjádřím si buď sinus nebo kosinus pomocí toho druhého (vyučující doporučuje kosinus). Ale tady u mě nastává háček. Vzniká z toho šílená kvadratická rovnice s odmocninami a s tím si moc nevím rady. Ani s určením těch podmínek ne.

kvadratická rovnice mi vyšla takto. Nevím, jak z ní získat členy a, b, c pro dikriminant.
$a^{2}*(2-\cos \alpha ^{2}+2*\sqrt{1-\cos \alpha ^{2}}) = 4b^{2} *(1+2\cos \alpha*\sqrt{1-\cos\alpha ^{2}})$

Děkuji za pomoc :)

pietro · 23. 02. 2013 00:46 — Editoval pietro (23. 02. 2013 00:47)

↑ esss: Ahoj , doporučujem označiť pomer a/b=p
a pomer r/s=x.
Potom dotlačiť rovnicu
p(r+s)=2(r+v) na rcu
p(x+1)=2(x+√(1-x^2))
a odtial x=.....

martisek

↑ esss:

$\frac{a}{2b}=\frac{\sin \alpha +\cos \alpha }{\sin \alpha +1}=$

$=\frac {2\sin\frac\alpha 2\cos\frac\alpha 2 +\cos ^2\frac \alpha 2- \sin ^2 \frac \alpha 2} {2\sin\frac\alpha 2\cos\frac\alpha 2 +\cos ^2 \frac \alpha 2 + \sin ^2 \frac \alpha 2} \cdot \frac {\cos ^{-2} \frac \alpha 2} {\cos ^{-2} \frac \alpha 2}=$

$=\frac { 2\frac{\sin\frac\alpha 2}{\cos \frac \alpha 2} + 1 - \frac {\sin ^2\frac \alpha 2}{\cos ^2\frac \alpha 2} } {2\frac{\sin\frac \alpha 2} {\cos\frac \alpha 2} +1+ \frac {\sin ^2 \frac\alpha 2}{\cos ^2 \frac\alpha 2} }$

$tg\frac \alpha 2 =y$

$\frac{a}{2b}=\frac{2y+1-y^2}{2y+1+y^2}$