Matematické Fórum

kamiseks · 25. 02. 2013 18:29

Pomůžete mi prosím? Zvládnu jen první krok, nevím, jak správně dosadit (k+1). Díky
$1/1*3+1/3*5+1/5*7+...+1/(2n-1)*(2n+1)=n/(2n+1)$

zdenek1 · 25. 02. 2013 18:51

↑ kamiseks:
$\underbrace{\frac{1}{1\cdot 3}+\ldots +\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}}_{\frac{k}{2k+1}}+\frac{1}{[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}=$

a upravit

Arabela · 25. 02. 2013 18:53

Ahoj ↑ kamiseks:,
najskůr si zapíšeme indukčný predpoklad: predpokladáme, že pre nejaké prirodzené číslo k tvrdenie vety platí, takže platia rovnosti
$L(k)=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{k}{2k+1}=P(k)$ .
Chceme ukázať, že za tohoto predpokladu budú platiť aj rovnosti
$L(k+1)=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{(2k+1)(2k+3) }=\frac{k+1}{2(k+1)+1}=P(k+1)$ .
Všimnime si, že platí
$L(k+1)=L(k)+\frac{1}{(2k+1)(2k+3) }$ , ďalej podľa indukčného predpokladu
môžeme $L(k)$ nahradiť $P(k)$ ...
Budeš ďalej vedieť?

kamiseks · 25. 02. 2013 19:10

když si tedy napíšu rovnost $(k+1)/(2(k+1)+1)=k/(2k+1)+1/(2k+1)(2k+3)$ tak mi to vyjde $((2k+3)(k+1))/(2k+1)(2k+3)$ ..to se ale přeci nerovná, nevíte, co dělám špatně?
Jinak děkuji za odpovědi

Arabela · 25. 02. 2013 19:16

↑ kamiseks:
v čitateli posledného výrazu nemáš mať $(2k+3)(k+1)$ ,
ale $(2k+3)k+1$

kamiseks · 25. 02. 2013 19:18

už to vidím! moc děkuju!:-)

Arabela · 25. 02. 2013 19:20

↑ kamiseks:
...:)

kamiseks · 25. 02. 2013 19:20

moment, ale ve jmenovateli mi zbyde 2k+1 a to nechci, ne? vždyt L(k+1) má dole 2k+3..?

Arabela · 25. 02. 2013 19:45

↑ kamiseks:
máš $\frac{2k^{2}+3k+1}{(2k+1)(2k+3)}$ a potrebuješ ukázať, že sa to rovná $\frac{k+1}{2k+3}$
Tá rovnosť sa dá dokázať v podstate dvojakým spôsobom... Môžeš si skúsiť rozložiť trojčlen v čitateli zložitejšieho výrayu a potom vykrátiť,

alebo dať do rovnosti, ekvivalentne poupravovať a dostaneš 0=0, čo platí...

kamiseks · 25. 02. 2013 19:55

↑ Arabela:
Omlouvám se, že jsem taková natvrdlá, dneska jsme to ve škole začali:) Děkuju za pomoc

Matematické Fórum

#1 25. 02. 2013 18:29

Matematická indukce

#2 25. 02. 2013 18:51

Re: Matematická indukce

#3 25. 02. 2013 18:53

Re: Matematická indukce

#4 25. 02. 2013 19:10

Re: Matematická indukce

#5 25. 02. 2013 19:16

Re: Matematická indukce

#6 25. 02. 2013 19:18

Re: Matematická indukce

#7 25. 02. 2013 19:20

Re: Matematická indukce

#8 25. 02. 2013 19:20

Re: Matematická indukce

#9 25. 02. 2013 19:45

Re: Matematická indukce

#10 25. 02. 2013 19:55

Re: Matematická indukce

Zápatí