Matematické Fórum

jirkaskalda · 24. 02. 2013 00:05

Dobrý den, potřeboval bych prosím pomoci s následující úlohou:

Máme dán trojúhelník ABC, pro který platí: délka strany AB = c, délka strany BC = a, délka strany CA = b a velikost úhlu BAC = $\alpha$ .
Je dán bod P (který může ležet jak ve vnitřní, tak ve vnější oblasti trojúhelníka ABC), pro který platí: velikost úhlu APB = $\delta$ a velikost úhlu APC = $\varepsilon$ . Určete vzdálenosti bodu P od vrcholů trojúhelníku ABC.

Sedím nad tím už hodně dlouho a nemohu s tím vůbec hnout. Jediné, čeho jsem schopný, je dopočítat zbylé úhly v trojúhelníku ABC podle Kosinovy věty a v případě, že P leží uvnitř trojúhelníku, tak umím dopočítat poslední zbylý obvodový úhel vrcholu P, a to úhel BPC. Více s tím nehnu ani o píď. Moc děkuji za případnou radu.

martisek

↑ jirkaskalda:

Určitě to půjde takto (pro případ bodu uvnitř):

a) Jsou-li známy strany trojúhelníka, dopočítají se vnitřní úhly (kosinová věta).
b) Spojnice bodu P s vrcholy určují tři úhly při vrcholu P. Jsou-li známy dva, je znám i třetí.
c) Tyto spojnice rozdělí vnitřní úhly celkem na šest neznámých úhlů, pro které lze napsat šest jednoduchých lineárních rovnic

tři jsou typu alfa_1 + alfa_2 = alfa
a tři typu alfa_2 +gama_2= 180 - epsilon

Řešením se získají všechny úhly, a kosinovou popř. sinovou větou i žádané vzdálenosti.

Ale asi tam bude něco jednoduššího, co zatím nevidím. Až budu mít chvilku a pokud na to nikdo mezitím nepřijde, mrknu na to.

jirkaskalda · 24. 02. 2013 14:34

Děkuji, tou rovnicí o 6 neznámých to jde a včera v noci mě to nějak nenapadlo. Stále ale nevím, jak hnout s řešením v tom případě, že bod P leží ve vnější oblasti trojúhelníku. Věděl by prosím někdo?

martisek · 24. 02. 2013 15:35

↑ jirkaskalda:

Ale to je totéž, jenom bude pro dva úhly platit alfa_1 = alfa_2 - alfa místo alfa_1 + alfa_2 = alfa

jirkaskalda · 25. 02. 2013 19:24

Děkuji za nápad, zkoušel jsem to asi 10x ale pokaždé, když už těch 6 rovnic pro 6 neznámých zjednoduším na 2 rovnice o 2 neznámých (postupným dosazováním) a vyjádřím si z jedné rovnice neznámou, kterou dosadím do druhé, neznámá se mi vždycky vykrátí (takže asi slepá ulička).

Matematické Fórum

#1 24. 02. 2013 00:05

Výpočty v trojúhelníku a čtyřúhelníku

#2 24. 02. 2013 09:46 — Editoval martisek (24. 02. 2013 09:47)

Re: Výpočty v trojúhelníku a čtyřúhelníku

#3 24. 02. 2013 14:34

Re: Výpočty v trojúhelníku a čtyřúhelníku

#4 24. 02. 2013 15:35

Re: Výpočty v trojúhelníku a čtyřúhelníku

#5 25. 02. 2013 19:24

Re: Výpočty v trojúhelníku a čtyřúhelníku

Zápatí