Matematické Fórum

polonium · 22. 02. 2013 10:17

Pěkný den přeji :)
Mám zadanou funci
$f(x)=\frac{1}{2}x^4-2x^3-x^2+6$
Mám hned v úvodu zjistit D(f), H(f), nulové body a intervaly, kdy je fce kladná a kdy záporná.

Definiční obor není problém $D(f)=\mathbb{R}$ , ale ten zbytek...

Wolfram mi nebyl schopný říct jak získal nulové body. Obor hodnot by se možná dal určit pomocí první derivace a nalezením extrémů.

S nulovými body jsem taky rychle skončil zde:
$\frac{1}{2}x^4-2x^3-x^2+6=0$
$\frac{1}{2}x^4-2x^3-x^2=-6$
$x^2(\frac{1}{2}x^2-2x-1)=-6$
$x^2(x+2+\sqrt{6})(x+2-\sqrt{6})=-6$

Poraďte prosím

Rumburak · 22. 02. 2013 11:06

↑ polonium:

Ahoj.

Pro nalezení nulových bodů bude praktické pracovat s funkcí $g(x) = 2f(x)=x^4-4x^3-2x^2+12$ .

Vyzkoušel bych, zda se podaří nalézt čísla $a, b, c, d$ tak, aby

$x^4-4x^3-2x^2+12 = (x^2 + ax + b) (x^2 + cx + d)$ .

Roznásobením pravé strany a porovnáním s levou stranou dostaneme soustavu rovnic pro neznámé $a, b, c, d$ .
Některé školní úlohy na polynomy 4. stupně bývají postaveny tak, že řešení této soustavy se dá určit relativně snadno.

Ale jen tipuji, nepočítal jsem to.

martisek · 22. 02. 2013 12:59

↑ polonium:

Nulové body bývají největší problém. Konkrétně tato funkce má dva: x_1 in (1;2); x_2 in (4;5). Numericky je lze určit s libovolnou předností. Wofram mokl získat kořeny přímým řešením rovnice 4. stupně, ale to je velmi komplikované a prakticky se nedělá. Nějaký jiný přímý postup mě nenapadá. Pro náčrtek průběhu funkce by ale tyto intervaly mohly stačit.

martisek · 22. 02. 2013 13:02

↑ Rumburak:

Nápad je to hezký, ale to se bohužel nepodaří, protože polynom má pouze dva reálné kořeny :-(

polonium · 23. 02. 2013 22:13

↑ martisek:
Problém je, že v zadání se po mě chce krom zjištění průběhu funkce také říct na jakých intervalech je fce kladná a na jakých záporná, a to bez nulových bodů nedám.

polonium · 25. 02. 2013 11:44

Mno tuhle funkci radši necháme a budu doufat, že ji do testu nedá.

Teď mi zase není jasné jak zjistit přesně H(f) této funkce:
$f(x)=\frac{x^2}{x+1}$

Postupoval jsem následovně:
$y=\frac{x^2}{x+1}$
$xy+y=x^2$
$x^2-xy-y=0$
$D=y^2+4y \ge 0$
$y^2+4y+4 \ge 4$
$(y+2)^2 \ge 4$
$y \ge 0$

Takže $H(f)=\langle0,\infty )$ , ale wolfram říká, že $H(f)=(-\infty ;-4\rangle\cup \langle0;\infty )$ .

polonium · 25. 02. 2013 12:53

Už mi to došlo :D

$D=y(y+4)\ge 0$ A z tohohle určím podmínky :)

polonium · 25. 02. 2013 17:43

Tak jsem si myslel, že to chápu, ale nechápu. Jak dokážu pomocí věty o limitě, že ta funkce je spojitá nebo nespojitá? Četl jsem snad všechny definice, ale pořád den důkaz nějako nevidím...

jelena · 25. 02. 2013 21:33

↑ polonium:

Zdravím,

asi je trochu potíž, že všechny otázky dáváš do jednoho tématu. Pokud ještě něco z tohoto tématu aktuální, sestav prosím nové téma jen s jedním dotazem (pokud je dotaz jen teoretického rázu (bez konkrétního zadání funkce), potom je dobré doplnit odkazy nebo formulace "všech definicí", co jsi přečetl) - děkuji.

Matematické Fórum

#1 22. 02. 2013 10:17

Průběh funkce

#2 22. 02. 2013 11:06

Re: Průběh funkce

#3 22. 02. 2013 12:59

Re: Průběh funkce

#4 22. 02. 2013 13:02

Re: Průběh funkce

#5 23. 02. 2013 22:13

Re: Průběh funkce

#6 25. 02. 2013 11:44

Re: Průběh funkce

#7 25. 02. 2013 12:53

Re: Průběh funkce

#8 25. 02. 2013 17:43

Re: Průběh funkce

#9 25. 02. 2013 21:33

Re: Průběh funkce

Zápatí