Matematické Fórum

Jeník · 24. 02. 2013 22:03 — Editoval Jeník (24. 02. 2013 22:04)

Zdravím, potřeboval bych pomoct s následujícím zadáním:
Po kružnici se pohybují dva hmotné body M1 a M2, které se začaly pohybovat současně proti sobě z téhož bodu A. Bod M1 proběhne za první minutu oblouk přináležející středovému úhlu α1 stupňů a pak zvyšuje svoji rychlost tak, že vykazuje za každou následující minutu přírůstek oblouku příslušný středovému úhlu β1 stupňů vzhledem k minutě předcházející. Bod M2 proběhne za první minutu oblouk příslušný středovému úhlu α2 stupňů a za každou následující minutu zvětšuje proběhnutý oblouk o přírůstek patřící středovému úhlu β2 stupňů vzhledem k minutě předcházející. Za jakou dobu se body M1 a M2 poprvé setkají? Úlohu vyřešte nejprve obecně, včetně podmínek, číselných oborů i příslušných jednotek. Konkrétní řešení jestliže α1 = 4, α2 = 2, β1 = 4, β2 = 9. (Jednotky nebyly uvedeny, předpokládám, že jde o stupně, ne radiány. Jinak zadání nechávám záměrně v nezkrácené verzi, jestli se tam neskrývá nějaká mnou nepochopená záležitost.)

Něco jsem vymyslel, ale zdá se mi to jakési podivné. Mohl by mi někdo prosím napsat, jestli jsem úplně mimo, anebo to takto řešit lze? A co se týče obecného zadání, netuším, jestli a jak to řešit i pro rozdílná znaménka úhlů.
Pokud bych to měl mít celé zle, pak bych prosil, abyste mě jen nasměrovali, rád bych to zkusil vyšpekulovat sám.

$\alpha_1+(t-1)\cdot \beta _1+\alpha _2+(t-1) \cdot \beta _2=2\pi$

a upravil na

$t=\frac{2\cdot \pi - (\alpha _1+\alpha _2)}{(\beta _1+\beta_2) } +1$

P.S. Toto je zadání tak, jak sem ho dostal e-mailem, podrobnější info nemám, termín na konzultaci jsem prošvihl
P.S.2 Jsem tady nový, tak omluvte porušení jakýchkoliv pravidel a klidně opravujte a usměrňujte (Přečetl jsem jakási pravidla, snažil se jimi řídit a podobné příklady hledal dle nejlepšího svědomí a vědomí, ale nenalezl jsem)

jelena · 25. 02. 2013 10:39 — Editoval jelena (25. 02. 2013 23:08)

Zdravím,

překontrolovala bych, zda má stejný smysl u bodů:

Bod M1 proběhne za první minutu oblouk přináležející středovému úhlu α1 stupňů a pak zvyšuje svoji rychlost tak, že vykazuje za každou následující minutu přírůstek oblouku příslušný středovému úhlu β1 stupňů vzhledem k minutě předcházející. Bod M2 proběhne za první minutu oblouk příslušný středovému úhlu α2 stupňů a za každou následující minutu zvětšuje proběhnutý oblouk o přírůstek patřící středovému úhlu β2 stupňů vzhledem k minutě předcházející.

první bod zvyšuje rychlost, tedy máme zrychlený pohyb po kružnici s počáteční rychlosti $\omega_{01}=\alpha_1$ a zrychlením $\varepsilon_1=\beta_1$ .

druhý bod zvětšuje proběhnutý oblouk, což ve smyslu, že vždy za jednu minutu totéž jako u prvního bodu - tedy opět pohyb zrychlený po kružnici.

EDIT: další můj námět neobsahuje správné doporučení - viz následující debata v tématu

Proto bych použila rovnici dráhy $\varphi=\omega_{0}t+\frac{1}{2}\varepsilon t^2$ pro každý bod. Jinak Tvůj nápad se součtem drah a celkovou proběhnutou dráhou $2\pi$ , to bych také tak měla.

---------konec námětu-----------

Téma přesunu do sekce VŠ - kolegové od vás již v této sekci své téma mají, případně ještě někdo z kolegů trochu zkoriguje, aby jsi úspěšně a samostatně dokončil svou dílčí úlohu.

Rumburak · 25. 02. 2013 11:44

↑ Jeník:

Zdravím také.

Domnívám se, že zadání úlohy není zcela úplné. Může jít o pohyb rovnoměrně zrychlený, jak píše kolegyně ↑ jelena: (které rovněž posílám pozdrav),
já jsem to po prvním přečtení zase pochopil tak, že zrychlování se děje pouze každou celou minutu "skokem" , takže rychlosti (konstantní v příslušných
časových úsecích) tvoří aritmetickou posloupnost.

jelena · 25. 02. 2013 12:52

↑ Rumburak:

Také pozdrav a děkuji. Já v textu zadání nějak důvod pro skoky nevidím, jen zrychlený pohyb po kružnici. Pro upřesnění - zadání je odsud (typově, zadání této konkrétní úlohy nemám). Děkuji za případné ukázání na slovo, které by naznačovalo "skok".

martisek · 25. 02. 2013 15:51

↑ Rumburak:

Zrychlený pohyb ano, ovšem rovnoměrně zrychlený ne - to by nebyl každou minutu stejný přírůstek dráhy.

Rumburak · 25. 02. 2013 16:01

↑ jelena:

Mně k úvaze o skocích přiměla formulace

...za první minutu ... a za každou následující minutu

,

což jsem si přeložil "za první minutu, za druhou minutu následující za tou první, ... atd. " .

Takovéto pojetí pojednává pouze o průměrných rychlostech v časových intervalech $( 0 , 1 ), ( 1, 2 ), ...$ , měříme-li čas v minutách
a klademe-li počátek pohybu do okamžiku 0. Ale netvrdím, že právě toto pojetí měl autor úlohy na mysli. Pouze mi připadá, že
dvojí výklad je možný.

jelena · 25. 02. 2013 16:10

↑ martisek:, ↑ Rumburak:

děkuji, tedy máme to přečíst tak:

Bod M1 proběhne za první minutu oblouk přináležející středovému úhlu α1 stupňů a pak zvyšuje svoji rychlost tak, že vykazuje za každou následující minutu přírůstek oblouku příslušný středovému úhlu β1 stupňů vzhledem k minutě předcházející.

v první minutě překonám: alfa
v druhé minutě překonám: alfa+beta
v třetí minutě překonám: alfa+beta+beta
ve čtvrté minutě překonám: alfa+beta+beta+beta?

Pokud tak, tak bych v tom posloupnost uviděla? A sedí tak stejně i na druhý bod? Vyjádření uvidím však až pozdě večer, děkuji :-)

martisek · 25. 02. 2013 16:28

↑ jelena:

Vidím to přesně tak, měl jsem jenom poznámku k tomu "rovnoměrně zrychlený". U rovnoměrně zrychleného pohybu totiž takto roste rychlost, nikoliv dráha.

Rumburak · 25. 02. 2013 16:34

↑ martisek:

No vida, další nedorozumění. Děkuji za upozornění.

martisek

↑ Jeník:

Mám teď chvilku, takže zkusím napsat to, co už řekla ↑ jelena::

$\left(\alpha_1+\alpha_2\right)\cdot t + \left(\beta_1+\beta_2\right)\cdot \left( (t-1)+ (t-2)+...+2+1\right) = 360$

$\left(\alpha_1+\alpha_2\right)\cdot t + \left(\beta_1+\beta_2\right)\cdot \frac t 2 = 360 \Rightarrow t$

jelena · 25. 02. 2013 23:13

↑ martisek:

ještě pozdrav a děkuji za zpracování, jen drobnost - v prvním zápisu nebude =... - tak?
Ve výsledném zápisu mám jinak po závorce $$\beta_1+\beta_2$$ :
$\left(\beta_1+\beta_2\right)\cdot \frac{t^2-t}{2}$

Je to tak? Děkuji.

martisek · 25. 02. 2013 23:32

↑ jelena:

Jasně, to rovnítko byl překlep (opravil jsem). Ale to (t^2-t)/2 mi nikde nevychází.

jelena · 25. 02. 2013 23:43

↑ martisek:

já zas nevidím, jak vyjde t/2. V závorce vidím toto bez posledního členu, ale už je dost pozdě, nechám na zítra, klidnou noc.

martisek

↑ jelena:

Mea culpa :-) Tu závorku jsem tam zapomněl a potom už jsem se díval jen na ten svůj poslední řádek. Takže opravuji (doufám, že tentokrát správně):

$\left(\alpha_1+\alpha_2\right)\cdot t + \left(\beta_1+\beta_2\right)\cdot \frac t 2 (t-1)= 360 \Rightarrow t$

Vyjádřit to t bude sice trochu těžší, ale pořád to jde :-)

jelena · 26. 02. 2013 11:35

↑ martisek:

:-) děkuji, to jsme mne uklidnil. Nakonec vidím, že předpis pro rovnoměrně zrychlený předpis vznikl (zapiš pro jeden bod):

$\varphi=$\frac{2\alpha_1-\beta_1}{2}$t+\frac{1}{2}\beta_1t^2$

Podle paní učitelky termíny odevzdání ještě běží, ale ve které skupině zadala tuto dílčí úlohu, to nevíme - autor tématu téma založil, ale již se neozval.

martisek · 26. 02. 2013 11:47

↑ jelena:

Že se autor už neozval, je docela škoda - je to moc pěkná úloha.

jelena · 26. 02. 2013 11:53

↑ martisek:

to je škoda - na rozdíl od ostatních linolemplovských zvolání "vůbec nevím jak na to" (proti čemu rázně bojuji :-) úlohu promýšlel a rozpracoval.

Mějte se, zas až pozdě večer.

Jeník · 26. 02. 2013 16:41 — Editoval Jeník (26. 02. 2013 16:41)

Včerejší zubař, následný přesun Ostrava -> Brno a tříhodinové labiny mi daly zabrat (i když musím přiznat, že nějaká ta hodinka se našla, ale znáte to).
Jinak úlohu mám mít zpracovánu do zítřka, takže mě čeká asi perný večer.
Samozřejmě za všechny minulé i budoucí odpovědi děkuji (nějaká ta premium smska matfóru přijde ;-) )

A teď k práci - Nějak se pořád nemůžu dohrabat k výše zmiňovanému:

$\varphi=$\frac{2\alpha_1-\beta_1}{2}$t+\frac{1}{2}\beta_1t^2$

konkrétně mi jde to závorku, tedy počáteční rychlost:

$(\frac{2\alpha_1-\beta_1}{2})$

Ještě jsem vás chtěl oslnit spočteným t-čkem, ale spíš to vypadá na pořádnou ostudu, protože se mi to jaksi nedaří (nicméně na tom ještě pracuju).

jelena · 26. 02. 2013 21:33

↑ Jeník:

děkuji za odezvu a za příslib SMS (není to příliš výhodná forma příspěvku na provoz, bohužel :-) Zápis rovnice ve tvaru $\varphi=\omega_{0}t+\frac{1}{2}\varepsilon t^2$ bylo spíš pro zpestření, když už se to snad podařilo prokázat, že pohyb je rovnoměrně zrychlený.

Spíš doporučuji pracovat s rovnici, která vyjadřuje společný pohyb bodů - od kolegy ↑ martisek: $\left(\alpha_1+\alpha_2\right)\cdot t + \left(\beta_1+\beta_2\right)\cdot \frac t 2 (t-1)= 360$

a upravit na tvar $at^2+bt+c=0$ , což už povede k vyjádření $t$ .

jelena · 26. 02. 2013 22:48

reaguji na PM - je to nejméně vhodná forma komunikace (aktualizace stránky s fórem mi běží v průběžných intervalech, tedy je větší jistota, že zaznamenám přidání do tématu :-)

$360=$\frac{2(\alpha_1+\alpha_2)-(\beta_1+\beta_2)}{2}$t+\frac{1}{2}(\beta_1+\beta_2)t^2$

a přepsat $\frac{1}{2}(\beta_1+\beta_2)t^2+$\frac{2(\alpha_1+\alpha_2)-(\beta_1+\beta_2)}{2}$t-360=0$

vynásobit 2, zavést substituci pro závorky, aby bylo vidět kvadratickou rovnici. Tato forma zápisu je pro úhly ve stupních, pro radiány třeba převod. Další dotazy prosím sem do tématu, děkuji.

Jeník · 02. 03. 2013 14:20 — Editoval Jeník (02. 03. 2013 14:50)

Tak úloha byla myšlena jako normální posloupnost s $a_1=\alpha$ a $d=\beta$ . Ale aspoň to umím samostatně řešit :-) (vzorcem pro součet členů posloupnosti a dále analogicky se zdejším postupem, jen ten diskriminant obecně je "trochu obsáhlejší" - vzhledem k tomu to tady nebudu rozepisovat, trvalo by mi to dlouho a stejně je to vám všem ještě zřejmější než mi).

Jen tak pro zajímavost u reálných podmínek souhlasila paní doktorka s tím, že si dohledám fakta o urychlovači částic v CERNu (de facto kružnice), tak se aspoň trochu vzdělám i v jiném oboru.
Jinak ještě jednou všem díky za pomoc.

Matematické Fórum

#1 24. 02. 2013 22:03 — Editoval Jeník (24. 02. 2013 22:04)

"Setkání" bodů na kružnici

#2 25. 02. 2013 10:39 — Editoval jelena (25. 02. 2013 23:08)

Re: "Setkání" bodů na kružnici

#3 25. 02. 2013 11:44

Re: "Setkání" bodů na kružnici

#4 25. 02. 2013 12:52

Re: "Setkání" bodů na kružnici

#5 25. 02. 2013 15:51

Re: "Setkání" bodů na kružnici

#6 25. 02. 2013 16:01

Re: "Setkání" bodů na kružnici

#7 25. 02. 2013 16:10

Re: "Setkání" bodů na kružnici

#8 25. 02. 2013 16:28

Re: "Setkání" bodů na kružnici

#9 25. 02. 2013 16:34

Re: "Setkání" bodů na kružnici

#10 25. 02. 2013 17:45 — Editoval martisek (25. 02. 2013 23:30)

Re: "Setkání" bodů na kružnici

#11 25. 02. 2013 23:13

Re: "Setkání" bodů na kružnici

#12 25. 02. 2013 23:32

Re: "Setkání" bodů na kružnici

#13 25. 02. 2013 23:43

Re: "Setkání" bodů na kružnici

#14 26. 02. 2013 10:26 — Editoval martisek (26. 02. 2013 10:27)

Re: "Setkání" bodů na kružnici

#15 26. 02. 2013 11:35

Re: "Setkání" bodů na kružnici

#16 26. 02. 2013 11:47

Re: "Setkání" bodů na kružnici

#17 26. 02. 2013 11:53

Re: "Setkání" bodů na kružnici

#18 26. 02. 2013 16:41 — Editoval Jeník (26. 02. 2013 16:41)

Re: "Setkání" bodů na kružnici

#19 26. 02. 2013 21:33

Re: "Setkání" bodů na kružnici

#20 26. 02. 2013 22:48

Re: "Setkání" bodů na kružnici

#21 02. 03. 2013 14:20 — Editoval Jeník (02. 03. 2013 14:50)

Re: "Setkání" bodů na kružnici

Zápatí