Matematické Fórum

ebabuli · 26. 02. 2013 03:05

Nazdarek :) koukala jsem a jste tady vsuchni celkem chytri ;) a doufam proto v odpovedi na dane otazky :) byla bych vam velmi vdecna :) hlavne me zajima postup u danych prikladu :)

1. Odchylka tělesové úhlopříčky kvádru od roviny jeho podstavy je 45°. Určete vztah mezi jeho délkou, šířkou a výškou. (odpověď je c $^{2}$ =a $^{2}$ +b $^{2}$ , přitom a, b, c jsou délka, šířka a výška)

2. (už to tady na foru bylo ale spocitali jste to spatne :)) Výška pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV je rovna délce jeho podstavných hran.Vypočtěte odchylku A) rovin dvou sousedních stěn. (odpověď asi 78°28')
B) protějších stěn (odpověď asi 53°8')

moc diky vsem :)

Honzc · 26. 02. 2013 07:58 — Editoval Honzc (28. 02. 2013 12:58)

↑ ebabuli:
ad1)
$\text{tg}\alpha =\text{tg}\frac{\pi }{4}=1=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$
a tedy $c^{2}=a^{2}+b^{2}$
ad2)
Volme počátek souřadné soustavy do středu podstavy jehlanu. (a pro jednoduchost volme stranu rovnou 1)
a)Pak sousední boční stěny mají úsekové rovnice:
$\frac{x}{\frac{1}{2}}+0\cdot y+\frac{z}{1}=1\Rightarrow 2x+0\cdot y+z-1=0$
$0\cdot x+\frac{y}{\frac{1}{2}}+\frac{z}{1}=1\Rightarrow 0\cdot x+2y+z-1=0$
a pro úhel platí:
$\cos \alpha =\frac{|2\cdot 0+0\cdot 2+1\cdot 1|}{\sqrt{(2^{2}+0^{2}+1^{2})(0^{2}+2^{2}+1^{2})}}=\frac{1}{5}$
$\alpha \approx 78.463041^\circ$
b) $\text{tg}\frac{\alpha}{2} =\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2}$
$\alpha \approx 2\cdot 26.56505^\circ =53.1301^\circ$

jelena · 26. 02. 2013 11:41

tady vsuchni celkem chytri

:-) já se nehlásím, jelikož nejsem chytrá, ale jen dobře nacvičena. Pár moderátorských poznámek k úpravě úvodního příspěvku tématu viz pravidla (zejména 2, 3). Pokud jsi našla téma, kde je chyba, je dobré napsat přímo v tématu, ať se opraví. Děkuji.

↑ Honzc:

Zdravím a děkuji (ale nekontrolovala jsem, doufám, že není třeba :-)

ebabuli · 26. 02. 2013 14:53

↑ jelena: jo to jo ale to tema uz bylo uzavrene :) http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=57165

ebabuli · 26. 02. 2013 16:36

↑ Honzc:mela bych otazku copak je usekova rovnice? :) pac tohle jsme se neucili v ramci Stereometrie :) takze slo by to vypocitat i jinak? :)

jelena · 27. 02. 2013 00:22

↑ ebabuli:

:-) ne, jen označené za vyřešené. Také lze přidat odkaz do nového tématu, co jsi založila, že jsi našla:

(už to tady na foru bylo ale spocitali jste to spatne :))

a přidat svůj dobrý výpočet. Pokud ještě máš nejasno, tak, prosím, do samostatných témat. Děkuji.

Honzc · 27. 02. 2013 06:25 — Editoval Honzc (06. 01. 2015 13:36)

↑ ebabuli:
Úseková rovnice roviny je:
$\frac{x}{p}+\frac{y}{q}+\frac{z}{r}=1$
kde $p$ je hodnota, ve které rovina protíná osu $x$
$q$ je hodnota, ve které rovina protíná osu $y$
$r$ je hodnota, ve které rovina protíná osu $z$
Jednu rovinu tvořící stěnu čtyřstěnu ti ukáži:
V mém souřadném systému je jedna přímka roviny rovnoběžná s osou y a osu x protíná v dodě (1/2,0,0) a tedy $p=\frac{1}{2}$
Protože je rovnoběžná s osou y, tak osu y neprotíná a tedy $q=\infty$ a proto $\frac{1}{\infty }=0$
Osu z pak rovina protíná v bodě (0,0,1) a tedy $r=1$
Druhá je obdobná, pouze je rovnoběžná s osou x.
Jinak pokud znáš 3 body $M_{k}[x_{x},y_{k},z_{k}]$ kde $k=1,2,3$
(neležícími na jedné přímce), kterými rovina prochází pak její rovnici můžeš vypočítat z determinantu
$\begin{vmatrix} x & y & z & 1\\ x_{1} & y_{1} & z_{1} & 1\\ x_{2} & y_{2} & z_{2} & 1\\ x_{3} & y_{3} & z_{3} & 1\\ \end{vmatrix}=0$

Vyčíslení determinantu (aby to bylo úplně jasné)
Rovnice roviny dané třemi body.
$x[y_{1}(z_{2}-z_{3})+y_{2}(z_{3}-z_{1})+y_{3}(z_{1}-z_{2})]+$
$y[z_{1}(x_{2}-x_{3})+z_{2}(x_{3}-x_{1})+z_{3}(x_{1}-x_{2})]+$
$z[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]-$
$[x_{1}(y_{2}z_{3}-y_{3}z_{2})+x_{2}(y_{3}z_{1}-y_{1}z_{3})+x_{3}(y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1})]=0$

ebabuli · 02. 03. 2013 22:38

ty jo nemel bys nejake lepsi reseni pres goniometricke funkce a pythagorovu vet? :D

ebabuli · 06. 03. 2013 00:17

nazdarek ;) umel by mi teda nekdo vysvetli pres trigonometrii a pythagorovu vetu jak vypocitam odchylku B) protějších stěn (odpověď asi 53°8') ddiiiiky :)

martisek · 06. 03. 2013 12:30

↑ Honzc:

Jenom poznámku - je to velice hezké, ale jsme v sekci střední škola. A já už jsem dostal za uši i za to, že jsem tady použil něco tak abstraktního, jako je vektorový součin. Takže s těmi determinanty bych tady byl velmi opatrný :-)

Arabela · 06. 03. 2013 13:10

Ahoj ↑ ebabuli:,
k tej odchýlke protiľahlých stien ihlana ABCDV, napríklad stien BCV a ADV. Označme si ako S1 stred úsečky BC a ako S2 stred úsečky AD. Hľadaná odchýlka protiľahlých stien BCV, ADV je vlastne veľkosťou uhla, ktorý zvierajú úsečky VS1, VS2. ˇˇLahko ho vypočítame z trojuholníka S1S2V napríklad použitím kosínusovej vety.
Najskôr si ale vyjadrime cez Pytagorovu vetu dĺžku bočnej hrany b, pričom vieme, že veľkosť telesovej výšky ihlana je a.
$b^{2}=v^{2}+(\frac{u}{2})^{2}=a^{2}+(\frac{a\sqrt{2}}{2})^{2}=...=\frac{3}{2}a^{2}$
( $u=|AC|$ ).
Ďalej si vypočítajme pomocou Pytagorovej vety
$v_{1}^{2}=b^{2}-(\frac{a}{2})^{2}=...=\frac{5}{4}a^{2}$
( $v_{1}=|VS_{1}|=|VS_{2}|$ ).
Podľa kosínusovej vety platí:
$a^{2}=v_{1}^{2}+v_{1}^{2}-2v_{1}v_{1}\cos \omega$ ,
čo dá po dosadení a úpravách
$\cos \omega =0,6$
$\omega \doteq 53^\circ 7'48''$

Arabela · 06. 03. 2013 14:36

Ahoj ↑ ((:-)):,
presne s Tebou súhlasím; je určite jednoduchšie rozdeliť si rovnoramenný trojuholník na dva pravouhlé a počítať polovičný uhol, čo v tomto prípade bolo obzvlášť jednoduché...:)
Mala som na mysli aj túto možnosť, ale uviedla som aj tie medzihodnoty (b, v1), keďže som chcela zareagovať aj na prvú úlohu. Mne totiž vyšiel ten prvý uhol tupý ( $101,537^\circ$ ), čo je doplnkový uhol do $180^\circ$ voči výsledku, ktorý uvádza zadávateľka úlohy.
P.S.: Snáď nie je na škodu, že som uviedla spôsob riešenia, ku ktorému by sme sa boli museli uchýliť, keby zadanie nebolo také jednoduché...
A najkrajšie by bolo, keby zadávateľka uviedla ešte nejaké iné, tretie riešenie...:)

ebabuli · 06. 03. 2013 15:30

jste velmi chytri ;) matiku mate v krvi :) uz sem to dokazal propocitat potrebovala jsem radne nakopnout :) a mohla bych pozadat o radu i k odchylka rovin dvou sousedních stěn. (odpověď asi 78°28') hlavne mi dela problem ze ani nevim kde najit uhel, ktery mam vypocitat :-/

Arabela · 06. 03. 2013 16:01

Ahoj ↑ ebabuli:,
najskôr k tomu, čo je odchýlka dvoch rovín. Podľa definície získaš odchýlku dvoch rovín $\alpha ,\beta$ takto: Ľubovoľným bodom $P$ priesečnice $s$ týchto dvoch rovín vedieš rovinu $\varrho$ , ktorá je kolmá na zmienenú priesečnicu $s$ . Rovina $\varrho$ pretne roviny $\alpha ,\beta$ v priamkach $p,q$ $p,q$ . No a uhol priamok $p,q$ je súčasne odchýlkou (uhlom) rovín $\alpha ,\beta$ .
Znie to jednoducho, ale ako viesť tú pomocnú rovinu $\varrho$ ? A ktorým bodom? A ako získame tie priesečnice $p,q$ ?
Našťastie, podľa istého kritéria je rovina kolmá na inú rovinu, ak je kolmá na niektorú priamku tej inej roviny. No a v jednoduchých príkladoch, ako bol práve vyriešený príklad, je voľba pomocnej roviny veľmi jednoduchá - $\varrho = rov S_{1}VS_{2}$ .

Arabela · 06. 03. 2013 16:21

↑ ebabuli:
A teraz k prípadu A) - odchýlka susedných stien.
Budem počítať odvhýlku rovín ABV, BCV.
Ich priesečnica je priamka BV.
Čo bude tým ľubovoľným bodom priesečnice, ktorým vedieme pomocnú rovinu $\varrho$ ? (V predošlom prípade B) to bolo jasné - priesečnicu sme nemali znázornenú, mali sme iba jej jediný bod V, ale to nám stačilo...)
V tomto prípade to však tiež nebude ťažké. Z bodu A veďme kolmicu na BV, jej pätu označme P. Podobne spustime kolmicu z bodu C na BV - dostaneme ten istý bod P. Takže rovina vedená ľubovoľne zvoleným bodom priesečnice kolmona obe roviny bude rovina APC.
Priesečnice s danými rovinami sú priamky AP, PC. Treba zistiť ich uhol.
Pomôžeme si trojuholníkom APC. Je rovnoramenný, so základňou AC,
$|AC|=u=a.\sqrt{2}$ .
Označme $|AP|=|PC|=v_{0}$ .
Vypočítajme dĺžku $v_{0}$ z rovnoramenného trojuholníka ABV; napríklad tak, že dvojakým spôsobom vyjadríme obsah trojuholníka ABV:
$\frac{b.v_{0}}{2}=\frac{a.v_{1}}{2}$ , pričom $b, v_{1}$ už máme vyjadrené pomocou $a$ .
$b^{2}=\frac{3}{2}a^{2}$
$v_{1}^{2}=\frac{5}{4}a^{2}$
Po jednoduchých úpravách dostaneme
$v_{0}=\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{3}}a$ .
A teraz môžeme použiť napríklad kosínusovú vetu na trojuholník ACP:
$u^{2}=v_{0}^{2}+v_{0}^{2}-2.v_{0}.v_{0}.\cos \varphi$ ,
a odtiaľ vypočítaš $\varphi$ ...