Matematické Fórum

StupidMan

s komplexnim cislem teprv zacinam a kdyz na ty vzorecky divam tak se vtom jeste moc nevyznam tak jestli by mi nekdo nemohl vypocitat par pikladu abych vedel jak se to pocita.
tady sem pripravil par typu prikladu :
stimhle prikladem nevim co s /pi a muzu vynasobit abych odstranil zlomek?

rovnice s neznamou x: - tady nevim jak zacit...

a tyhle 2 priklady uz stim vubec nevim rady.

lukaszh

↑ StupidMan:
Uvádzam ti dlhý "manuál" k riešeniu príkladov o komplexných číslach. Dúfam, že nepošleš päť ďalších príspevkov s rovnakým námetom ako tieto. Samozrejme, ak nemáš nápady, len sa ozvi, ale najprv skús príklady preriešiť sám. Snažil som sa to vysvetliť ako sa len dá. Neviem, či ste to v škole nepreberali, ale veci typu absolútna hodnota komplexného čísla sa berú ako prvé. Neviem v čom máš teda problém. Možno by si si mal naštudovať najprv teóriu a až potom príklady, lebo potom je jasné, že nevieš riešiť príklady.

Uvedom si, že prvý výraz nie je rovnica, teda akékoľvek násobenie číslom iným ako 1 neprichádza do úvahy. Výraz môžeš násobiť len jednotkou. Napríklad číselný výraz 3+4. Keby si ho násobil napríklad 2, tak dostaneš 3+4 = 2(3+4) = 14. Lenže to nie je pravda. Prenásobovať môžeš len rovnice, napríklad v druhom príklade. Výraz môžeš ale prenásobiť jednotkou, vtedy sa jeho hodnota nezmení. Napríklad 4 = 1.4 = 4. Lenže tá jednotky môže mať rôzne tvary napríklad:
$1=\frac{\ln x+\sqrt{x^2}}{\ln x+\sqrt{x^2}}$
Proste je to stále jednotka. Teraz k tvojmu zadaniu. Pri prvom príklade predpokladám, že ide o číslo pí. To sa dá jednoducho upraviť na spoločného menovateľa:
$\pi-2+\text{i}+\frac{1}{\text{i}}=\frac{\pi\text{i}-2\text{i}+\text{i}^2+1}{\text{i}}=\frac{\pi\text{i}-2\text{i}-1+1}{\text{i}}=\frac{\pi\text{i}-2\text{i}}{\text{i}}=\boxed{\pi-2}$

V rovnici sa nenechaj pomýliť. Treba si to predstavovať ako čísla a zlomky, len upravovať:

Tento zlomok sa ale dá ešte upraviť rozšírením:
$\frac{4+6\text{i}}{6+4\text{i}}\cdot\frac{6-4\text{i}}{6-4\text{i}}=\frac{24-16\text{i}+36\text{i}-24\text{i}^2}{36-16\text{i}^2}=\frac{48+20\text{i}}{52}=\boxed{\frac{12}{13}+\frac{5}{13}\text{i}}$

Tretí príklad je na výpočet absolútnej hodnoty komplexného čísla. Najprv treba upraviť:
$\|1-\text{i}+\frac{1+2\text{i}}{3-\text{i}}\|=\|\frac{3-\text{i}-\text{i}(3-\text{i})+1+2\text{i}}{3-\text{i}}\|=\|\frac{3-2\text{i}}{3-i}\|=\|\frac{3-2\text{i}}{3-\text{i}}\cdot\frac{3+\text{i}}{3+\text{i}}\|=\|\frac{9+3\text{i}-6\text{i}-2\text{i}^2}{9-\text{i}^2}\|=\|\frac{11-3\text{i}}{10}\|$
Absolútna hodnota komplexného čísla je definovaná:
$|w|=\sqrt{\Re^2(w)+\Im^2(w)}$
Pod odmocninou je štvorec reálnej zložky a štvorec imaginárnej zložky komplexného čísla. V tvojom prípade je:
$\Re(w)=\frac{11}{10}\nl\Im(w)=-\frac{3}{10}$
To by si už mohol zvládnuť dopočítať, čo povieš?

Štvrtý príklad - detto.

StupidMan

zadani:
muzu to takhle nechat jako vysledek nebo se to da jeste upravit?

StupidMan · 19. 12. 2008 13:03

kdyz je tam 2x absolutni hodnota tak se to resi takhle?

=

O.o · 19. 12. 2008 13:06

↑ StupidMan:

Asi bys mohl, ale většinou je lepší, když výsledky nějak upravíš. Nehledě na to, že se s nimi, případně, poté pracuje lépe.

Ve formě jak to máš teď by se ti špatně rozpoznávala reálná a imaginární část, tak to zkus upravit podle rad od lukaszh.

Možná něco ve smyslu:

$x=\frac{1+i\sqrt{2}}{1+\sqr{2}-i} \nl \frac{1+i\sqrt{2}}{1+\sqr{2}-i} \cdot \frac{(1+\sqr{2})+i}{(1+\sqr{2})+i}=...$

Cheop · 19. 12. 2008 13:16 — Editoval Cheop (19. 12. 2008 13:18)

↑ StupidMan:
Pokud jsem to upravil správně (neručím, protože jsem to začal mastit na popsaný papír a pak jsem hledal mezivýsledky),
tak by po úpravě mělo vzniknout toto:
$x=\frac{(\sqrt 2+1)\,\textrm{i}}{2}$

StupidMan

↑ Cheop:
vynasobil sem abych odstranil zlomek.

a me po uprave vznilo tohle

Cheop · 19. 12. 2008 14:01

↑ StupidMan:
Já to zkusím přepočítat.
Vydrž Prťka, vydrž.

Ivana · 20. 12. 2008 11:46

↑ lukaszh:Blahopřeji k postupu do Einsteina :-)

lukaszh · 20. 12. 2008 12:47

↑ Ivana:
Ďakujem :-) Ale na Q mám ešte dlhú cestu ;-)

O.o · 20. 12. 2008 12:51

↑ lukaszh:

Také gratuluji .)

Ivana · 20. 12. 2008 12:54

↑ O.o:
Blahopřeji k dosažení do Einsteina. :-)

O.o · 20. 12. 2008 12:56

↑ Ivana:

Děkuji .)

Blujacker · 30. 12. 2008 20:03

Zdravím,

Včera jsem se sám začal učit komplexní čísla. Nějaké základní věci jako násobení, sčítání, dělení jsem pochopil. Vyřešil jsem úspěšně několik rovnic, ale pak jsem se na jedné zasekl:
$\frac{x}{1+i\sqrt{2}}=ix+1$
Dokud v rovnici je jenom jeden výskyt neznámé, tak si s tím poradím. Ale v tomto případě je dvakrát. Postupoval jsem následovně:
$\frac{x}{1+i\sqrt{2}}=ix+1\nlx=(1+i\sqrt{2})*(0+i)*x+1\nlx=(-\sqrt{2}+i)*x+1$
Teď právě nevím co dál. Zkusil jsem to roznásobit:
$x=(-\sqrt{2}+i)*x+1\nlx=(-x\sqrt{2}+ix)+1$
Nyní převést neznámé na jednu stranu:
$x-ix-x\sqrt{2}=1\nlx=\frac{1}{1-i-\sqrt{2}}\nlx=\frac{1-\sqrt{2}+i}{2-\sqrt{2}}$

Podle výsledků má ale vyjít $x=\frac{1+i(3+\sqrt{2})}{4+2\sqrt{2}}$

Kde jsem udělal chybu?

Děkuji

Pavel Brožek · 30. 12. 2008 20:06

↑ Blujacker:

Hned na začátku, když jsi násobil celou rovnici jmenovatelem, jsi zapomněl vynásobit jedničku.

Blujacker · 30. 12. 2008 20:27

↑ BrozekP:
Děkuji. Nechápu, jak jsem mohl na něco takového zapomenout. Nyní už to vychází

Blujacker · 30. 12. 2008 22:34

Narazil jsem na další problém. Mám rovnici s komplexními čísly a absoultní hodnotou:
$|x|-x=1+2i$
Jak bych měl postupovat? První možnost, která mě napadla je postupovat jako když řeším rovnici s absoultní hodnotou bez komplexních čísel. Najdu nulový bod (v tomto případě je to 0) a tím pádem řeším rovnici ve dvou intervalech:
1) x je z intervalu (-nekonečno, 0):
$-x-x=1+2i\nl-2=1+2i\nlx=-\frac{1}{2}-i$
2) x je z intervalu (0, nekonečno) -> rovnice nemá řešešní

Jenomže výsledek, který mi vyšel není podle výsledků správný (mělo by vyjít $\frac{3}{2}-2i$ ). Napadlo mě, že bych možná měl postupovat podle toho, co platí pro absolutní hodnotu komplexních čísel, tedy $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$ , ale nevím jak by to v tomto případě vypadalo.

Pavel Brožek · 30. 12. 2008 22:53

Ten první postup není možný, protože jsi tak vyřešil pouze reálná x, musíš ještě vyřešit, jestli náhodou x nemůže být komplexní (v bodě 1 ti vyšlo komplexní číslo, ale to není z množiny, na které jsi to řešil, není tedy nutně řešením.).

Zde je dobrý postup napsat si $x=a+b\textrm i$ a porovnat reálnou a imaginární složku na obou stranách rovnice.

Blujacker · 30. 12. 2008 23:09

Omlouvám se, ale nejsem moc moudrý z tvé nápovědy. Nemohl by jsi to prosím trochu více rozvést?

Děkuji

Pavel Brožek · 30. 12. 2008 23:39

To se neomlouvej, v podstatě jsi ten postup s a a b navrhl ty.

Každé komplexní číslo x se dá zapsat jako $x=a+b\textrm{i}$ , kde a, b jsou reálná čísla. Když to dosadíme do rovnice, dostaneme

$|a+b\textrm{i}|-(a+b\textrm{i})=1+2\textrm{i}$

Pokud se mají dvě komplexní čísla rovnat, musí se rovnat jejich reálná část i imaginární část. Protože velikost komplexního čísla je reálné číslo, dostaneme pro reálné části rovnici

$|a+b\textrm{i}|-a=1$

a z imaginární části

$-b=2$

V první rovnici použiješ ten vzoreček pro velikost komplexního čísla, který jsi už uvedl, a pak vyřešíš soustavu dvou rovnic o dvou neznámých (ta druhá rovnice je ale triviální :-).

Blujacker

Mockrát děkuji. Nevíš o nějakém materiálu na internetu, kde by bylo pár vzorových příkladů vyřešených? Mám k dispozici pouze jednu knížku a tam nejsou skoro žádné řešené příklady. Zajímá mě kompletní problematika komplexních čísel (rovnice, gaussova rovina. Moivreova věta apod...).
Musím se tyhle věci učit sám, což je není lehké. On ten výklad od učitele hodně pomůže a člověk pak pochopí víc souvislostí. Ale jinak to bohužel nejde. V současné době jsem na ročním studiu v USA (v čechách bych byl v druháku na gymplu) a matematiku tu jako předmět sice mám, ale jedná se o precalculus (první semestr trigonometrie, druhý analytická geometrie). Ty věci jsem se ale už učil v čechách. Nemám tedy jinou možnost, než se vzdělávat sám, protože mě matematika hodně zajímá (mám stránky Matematika pro každého. Mám teoretickou šanci, že bych mohl v druhém semestru díky známkám dostat jako předmět calculus, ale nevím, jestli bych to měl udělat, protože ostatní mají semestr náskok a já bych musel hooodně dohánět.

Bohužel jsem hned v další rovnici narazil na problém. Ta rovnice, se kterou v současné době mám problém vypadá následovně:
$x^2+|x| = 0$
Nahradil jsem x za $x=a+bi$ :
$(a+bi)*(a+bi)+\sqrt{a^2+b^2}=0\nl(a^2-b^2)+(2ab)i+\sqrt{a^2+b^2}=0$
Nyní porovnám reálnou část na jedné straně a na druhé (totéž udělám s imaginární částí):
$a^2-b^2+\sqrt{a^2+b^2}=0\nl2ab=0$
Nemyslím si, že tohle je soustava, ke které bych se měl dopracovat, protože je složitá a popravdě nevím jak jí spočítat. Jedno řešení z toho vidím, totiž že $a, b = 0$ , ale ještě bych měl najít dvě další řešení.
Stačí, když mi někdo poradí, kde dělám chybu. Příklad pak chci dopočítat sám..

Anebo například následující příklad. Kromě jednoho známenka mi to vyšlo. Ale kde je ta chyba?

Nicméně se musím pochválit, vyšla mi rovnice kde je jak absolutní hodnota tak komplexní číslo sdružené:

Děkuji

Pavel Brožek · 31. 12. 2008 11:32

O žádném materiálu na internetu bohužel nevím, snad by mohli vědět kolegové z fóra.

Ta soustava, ke které ses dopracoval, se dá celkem dobře řešit. Podívej se na druhou rovnici. Co z ní plyne?

V tom dalším příkladě je buď chyba ve výsledcích nebo jsi špatně opsal zadání. Zkouška mi vychází s tím tvým výsledkem.

U posledního příkladu se mi ten postup nezdá. Výsledek je ale dobře. Určitě jsi dobře roznásobil závorky na levé straně? A jak z rovnosti $-a+b=-2a+1$ plyne $b=0$ a $a=1$ ?

Blujacker · 31. 12. 2008 16:21

Omlouvám se, postup byl špatný. Teď by to ale mohlo být správně.

Pravá strana rovnice je rovna reálnému číslu, proto i levá strana musí být rovna reálnému číslu a proto je neznámá $b=0$ . Nyní je to jednoduchá rovnice:
$a^2-a=a^2-2a+1\nl-a=-2a+1\nla=1$
Dojdeme tedy k výsledku $x=a+bi=1+0bi=1$

Nad tou první rovnicí stále přemýšlím. Ta soustava je
$a^2-b^2+\sqrt{a^2+b^2}=0\nl2ab=0$
a ze druhé rovnice jasné vyplývá, že buď $a$ nebo $b$ (popř. obě) je rovno nule. Tak nebo tak můžu dojít k závěru, že $x_1=0$ .
Začneme tedy tím, že $a=0$ :

Získám další výsledek: $x_2=i$
Nyní bude $b=0$ :

Tím jsem získal další výsledek $x_3=-1$
Jenomže výsledky by měly být $x_1=0, x_2=i, x_3=-i$ . Že by to byla další chyba ve výsledcích se mi nechce věřit...

Pavel Brožek · 31. 12. 2008 17:11

↑ Blujacker:

Pozor na to, že $\sqrt{x^2}\not{\equiv}x$ . Musíš to rozebrat, kdy je x kladné a kdy záporné. (Tohle x myslím jako nějaké reálné číslo, nikoliv jako x z toho příkladu.)

Blujacker · 31. 12. 2008 17:42

BrozekP napsal(a):
↑ Blujacker:

Pozor na to, že $\sqrt{x^2}\not{\equiv}x$ . Musíš to rozebrat, kdy je x kladné a kdy záporné. (Tohle x myslím jako nějaké reálné číslo, nikoliv jako x z toho příkladu.)

Nj, ještě se toho musím hodně učit:-)

Soustava:

Když a = 0:
$-b^2\pm b=0\nlb_1, b_2, b_3=-1, 0, 1$
Zatím tedy mám výsledky $x_1 = 0, x_2=i, x_3=-i$
Nyní b = 0:
$a^2\pm a=0\nla_1, a_2, a_3 = -1, 0, 1$
V posledním výpočtu získávám další výsledky: $x_4=-1, x_5=1$ . Když ale udělám zkoušku, zjistím, že výsledky rovnice jsou pouze $x_1 = 0, x_2=i, x_3=-i$ .

Znamená to tedy, že musím dělat zkoušku po každé komplexní rovnici??

Děkuji

Matematické Fórum

#1 18. 12. 2008 22:54 — Editoval StupidMan (18. 12. 2008 22:55)

komplexni cislo

#2 19. 12. 2008 00:31 — Editoval lukaszh (19. 12. 2008 00:34)

Re: komplexni cislo

#3 19. 12. 2008 12:03 — Editoval StupidMan (19. 12. 2008 12:06)

Re: komplexni cislo

#4 19. 12. 2008 13:03

Re: komplexni cislo

#5 19. 12. 2008 13:06

Re: komplexni cislo

#6 19. 12. 2008 13:16 — Editoval Cheop (19. 12. 2008 13:18)

Re: komplexni cislo

#7 19. 12. 2008 13:23 — Editoval StupidMan (19. 12. 2008 13:38)

Re: komplexni cislo

#8 19. 12. 2008 14:01

Re: komplexni cislo

#9 20. 12. 2008 11:46

Re: komplexni cislo

#10 20. 12. 2008 12:47

Re: komplexni cislo

#11 20. 12. 2008 12:51

Re: komplexni cislo

#12 20. 12. 2008 12:54

Re: komplexni cislo

#13 20. 12. 2008 12:56

Re: komplexni cislo

#14 30. 12. 2008 20:03

Re: komplexni cislo

#15 30. 12. 2008 20:06

Re: komplexni cislo

#16 30. 12. 2008 20:27

Re: komplexni cislo

#17 30. 12. 2008 22:34

Re: komplexni cislo

#18 30. 12. 2008 22:53

Re: komplexni cislo

#19 30. 12. 2008 23:09

Re: komplexni cislo

#20 30. 12. 2008 23:39

Re: komplexni cislo

#21 31. 12. 2008 02:01 — Editoval Blujacker (31. 12. 2008 03:28)

Re: komplexni cislo

#22 31. 12. 2008 11:32

Re: komplexni cislo

#23 31. 12. 2008 16:21

Re: komplexni cislo

#24 31. 12. 2008 17:11

Re: komplexni cislo

#25 31. 12. 2008 17:42

Re: komplexni cislo

BrozekP napsal(a):

Zápatí