Matematické Fórum

hans66 · 26. 02. 2013 17:22

Dobrý den, chtěl bych vá poprosit jestli by jste mi nepomohli s timto příkladem?nevim jak na to
Vyšetřete (absolutní) konvergenci řad

$\sum_{n=1 }^{\infty}(-1)^{n}\frac{n}{n+1}$

Rumburak · 26. 02. 2013 17:25

Ahoj. Zkus ověřit, zda je splněna nutná podmínka konvergence.

hans66 · 26. 02. 2013 17:35

↑ Rumburak:

$\lim_{n\to\infty }(-1)^{n} + \lim_{n\to\infty }\frac{n}{n+1}$

druha limita $\lim_{n\to\infty }\frac{n}{n+1}=1$
ale tu první limitu nevim, myslel jsem si +-1 ale ve wolframu mi to vyjde nějaké $e^{2i}$

martisek · 26. 02. 2013 17:57

↑ hans66:

$(-1)^{n}\frac{n}{n+1}\Rightarrow \lim_{n\to\infty }(-1)^{n} + \lim_{n\to\infty }\frac{n}{n+1}$

To snad ne. A vůbec - chtělo by to zopakovat pojem limita posloupnosti.

hans66 · 26. 02. 2013 18:23

↑ martisek:
co mám na tom příspěvku špatně?

Bati · 26. 02. 2013 19:41 — Editoval Bati (26. 02. 2013 19:43)

↑ hans66:
Jedna věc je, že $(-1)^n\frac{n}{n+1}\neq(-1)^n+\frac{n}{n+1}$ . A i kdyby, tak každý, kdo ví, co je to posloupnost, taky ví, že posloupnost $\{(-1)^n\}=-1,1,-1,1,\ldots$ zřejmě nemá limitu. Chudák wolfram.

martisek · 26. 02. 2013 21:18

↑ hans66:

Podstatné už řekl ↑ Bati:. Jenom dodám, že posloupnost $\{(-1)^n\}$ se uvádí jako jeden z prvních příkladů posloupnosti, která nemá limitu. Dále že (zdánlivě paradoxně) v součinu často konvergenci "zachraňuje", protože zajišťuje střídání znamének. Takže třeba řada $\Sigma \frac 1 n$ diverguje, ale $\Sigma (-1)^n \frac 1 n$ už konverguje. Ovšem k tomu, aby řada vůbec mohla konvergovat, musí splňovat podmínku lim a_n = 0, kdežto v tomto případě je lim a_n = 1 (to je to, na co upozorňoval hned na začátku Rumburak). Jsou to opravdu základní věci, které je potřeba k řešení takovýchto příkladů znát.

Bati · 26. 02. 2013 21:32

↑ martisek:
Limita posloupnosti těch členů řady není jedna, ale ta limita neexistuje. Na výsledku to nic nemění.

martisek · 27. 02. 2013 09:28

↑ Bati:

Myslel jsem na ten zlomek n/(n+1) - ta kmitající mínus jednička mu tu konvergenci (která už i tak není k ničemu) samožřejmě zničí.

Matematické Fórum

#1 26. 02. 2013 17:22

konvergence

#2 26. 02. 2013 17:25

Re: konvergence

#3 26. 02. 2013 17:35

Re: konvergence

#4 26. 02. 2013 17:57

Re: konvergence

#5 26. 02. 2013 18:23

Re: konvergence

#6 26. 02. 2013 19:41 — Editoval Bati (26. 02. 2013 19:43)

Re: konvergence

#7 26. 02. 2013 21:18

Re: konvergence

#8 26. 02. 2013 21:32

Re: konvergence

#9 27. 02. 2013 09:28

Re: konvergence

Zápatí