Matematické Fórum

Keeeeke · 25. 02. 2013 13:19

Ahoj,
mam priklad s kterym si nevim vubec rady: Do koule K je vloženo 6 co největších koulí tak, že jejich středy leží na třech vzájemných průmětech koule K. Jakou část objemu koule K zaujímá těchto šest koulí?

Děkuji za napady...

jelena · 25. 02. 2013 21:52

Zdravím,

pokud si situaci představuji správně (průmětem rozumím "plochý obrazec" koule na 3 roviny nárys, půdorys, bokorys), potom v každém plochém obrazci uvidím 4 stejné kruhy a to tak - středem velké koule (v rovině středem kruhu) udělám dvě přímky, aby rozdělily kruh na 4 výseče a do každé výseče vypíši jeden malý kruh (průmět malé koule).

V prostoru - 4 kuličky vedle sebe v rovině a po jedné nad těmito kuličkami a pod těmito kuličkami.

Dovedeš si to tak ze slohovky představit? Děkuji.

Keeeeke · 25. 02. 2013 22:57

↑ jelena:
Ahoj já si to spiše představoval takto:

jak z narysu, bokorysu i pudorysu. A ted zjistit jaky objem malých kouli... Ale jak urcit polomer CB (viz obrazek)?

jelena · 25. 02. 2013 23:03

↑ Keeeeke:

ano, přesně tak si to představuji :-) na vizualizaci od kolegyňky Tychi bylo třeba nahradit "kousky trubek" za koule.

Pokud spojíš středy malých koulí, tvoří čtverec o straně 2r (poloměr malé koule). Tedy využit CB+BA=R (velké koule) a zároveň BA je polovina úhlopříčky čtverce BDFH (to je jedna z možností).

Keeeeke · 27. 02. 2013 11:26

↑ jelena:
Hezký nápad. Vychází mi:

$\frac{V_V}{6V_M}=\frac{11}{6}+\frac{\sqrt{2}}{2}\doteq 2,5$

Přijde mi to hodně, je to správně?
Díky

Honzc · 27. 02. 2013 14:23

↑ Keeeeke:
Protože se jedná o poměr zvolme poloměr velké koule 1
Dále označme poloměr malé koule r.
Z obrázku je patrné, že $2r=(1-r)\sqrt{2}\Rightarrow r=\sqrt{2}-1$
Pak $p=\frac{6\frac{4}{3}\pi (\sqrt{2}-1)^{3}}{\frac{4}{3}\pi\cdot 1^{3}}=6(\sqrt{2}-1)^{3}\approx 0.4264=42.64\%$

Matematické Fórum

#1 25. 02. 2013 13:19

Objemy kouli

#2 25. 02. 2013 21:52

Re: Objemy kouli

#3 25. 02. 2013 22:57

Re: Objemy kouli

#4 25. 02. 2013 23:03

Re: Objemy kouli

#5 27. 02. 2013 11:26

Re: Objemy kouli

#6 27. 02. 2013 14:23

Re: Objemy kouli

Zápatí