Matematické Fórum

Akcope · 27. 02. 2013 19:00

Zdravím, mám následující integrál: $\int_{}^{}\frac{dx}{(5-x^{2})^{\frac{3}{2}}}$

Po substituci $x=\sqrt{5}\sin t ; dx= \sqrt{5}\cos t dt$ jsem pár jednoduchými úpravami došel k výsledku $\frac{\text{tg}t}{5}+c$

Můj problém nastává zde. T jsem si určil jako $t=arccos(\frac{x}{\sqrt{5}})$ . Teď je to třeba dosadit zpět. Wolfram i skripta mi tvrdí $\frac{x}{5\sqrt{5-x^{2}}}$ . Nicméně jak se k tomuto výsledku dostal je pro mě absolutní záhada. Nemám nejmenší ponětí proč to tak je, nevidím v tom žádnou souvislost. Mohl by mi tento krok někdo prosím odůvodnit a vysvětlit? Díky.

Brano · 27. 02. 2013 19:41

V prvom rade
$t=\arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right)$
potom
$\tan^2t=\frac{\sin^2t}{\cos^2t}=\frac{\sin^2t}{1-\sin^2t}=\frac{\frac{x^2}{5}}{1-\frac{x^2}{5}}=\frac{x^2}{5-x^2}$
a dalej je to asi jasne.

Akcope · 27. 02. 2013 19:44

No jo - tohle mě nenapadlo. Díky za rychlou odpověď!

Matematické Fórum

#1 27. 02. 2013 19:00

Zpětná substituce inverzní funkce v integrálu s goniometrickou subst.

#2 27. 02. 2013 19:41

Re: Zpětná substituce inverzní funkce v integrálu s goniometrickou subst.

#3 27. 02. 2013 19:44

Re: Zpětná substituce inverzní funkce v integrálu s goniometrickou subst.

Zápatí