Matematické Fórum

Witiko · 27. 02. 2013 03:41 — Editoval Witiko (27. 02. 2013 03:41)

Potýkám se tu s lemmou, jež zní:
$A \subset \mathbb{R}\text{ je kompaktní}\Leftrightarrow \text{každá v ní obsažená posloupnost má podposloupnost konvergující k bodu v A.}$

Kompaktní množina je ohraničená a uzavřená. Nějak nechápu, proč by nemělo jít libovolnou cauchyovskou posloupnost do nekonečna půlit, i když se bude nacházet na neohraničené / otevřené množině. Nechápu tedy u ekvivalence implikaci ve směru zprava doleva.

vlado_bb · 27. 02. 2013 06:50

↑ Witiko:Ak by mnozina napriklad nebola ohranicena, tak existuje postupnost jej prvkov, z ktorej sa neda vybrat konvergentna podpostupnost. Podobne ak by nebola uzavreta.

Witiko · 27. 02. 2013 08:12

↑ vlado_bb:
A to by byly konkrétně např. jaké hodnoty?

Brano · 27. 02. 2013 09:07

Mozno pomozu priklady:
$\mathbb{N}$ nie je ohranicena. Postupnost $x_n=n$ nema konvergentnu podpostupnost.
$(0,1]$ nie je uzavreta. Uvazujme $x_n=1/n$ . Ta konverguje k $0$ teda aj vsetky jej podpostupnosti konverguju k $0$ lenze $0\not\in(0,1]$ .

martisek · 27. 02. 2013 09:33

↑ Brano:

Nebo např. žádná podmnožina Q obsahující posloupnost racionálních čísel, která konverguje k číslu iracionálnímu, není kompaktní množinou.

Witiko · 27. 02. 2013 17:44 — Editoval Witiko (27. 02. 2013 20:08)

↑ Brano:
Jo takhle. A předpokládám, že problém u neohraničené množiny by byly posloupnosti konverzující k $-\infty$ nebo $\infty$ , přičemž analogicky platí, že $\forall A\subset \mathbb{R}: \{-\infty\} \notin A \wedge \{\infty\} \notin A$ . Musí tedy být uzavřená a ohraničená -> kompaktní.

martisek

↑ Witiko:

Takto to platí v metrickém prostoru, který je speciálním případem prostoru topologického. V topologickém prostoru ale nemusí být definována metrika. Zcela obecně se tedy musíme obejít bez pojmů "ohraničená množina" a "cauchyovská posloupnost", a tím jsme vlastně u definice, kterou jsme začali. Doufám ale, že teď už je to jasnější.

Brano · 27. 02. 2013 19:30 — Editoval Brano (27. 02. 2013 19:32)

Witiko napsal(a):
↑ Brano:
Jo takhle. A předpokládám, že problém u neohraničené množiny by byly posloupnosti konverzující k $-\infty$ nebo $\infty$ , přičemž analogicky platí, že $\forall A\subset \mathbb{R}: \{-\infty\} \notin A \wedge \{\infty\} \notin A$ . Musí tedy být uzavřená a ohraničená -> kompaktní.

Witiko · 27. 02. 2013 20:10 — Editoval Witiko (27. 02. 2013 20:11)

↑ martisek:
Jasnější než polední slunko ve vztahu k reálným číslům. Až probereme obecné topologické prostory, bude to jasné i ve spojitosti k nim. :-)

↑ Brano:
Díky za upozornění, opraveno.

Matematické Fórum

#1 27. 02. 2013 03:41 — Editoval Witiko (27. 02. 2013 03:41)

Lemma o kompaktnosti podmnožin reálných čísel

#2 27. 02. 2013 06:50

Re: Lemma o kompaktnosti podmnožin reálných čísel

#3 27. 02. 2013 08:12

Re: Lemma o kompaktnosti podmnožin reálných čísel

#4 27. 02. 2013 09:07

Re: Lemma o kompaktnosti podmnožin reálných čísel

#5 27. 02. 2013 09:33

Re: Lemma o kompaktnosti podmnožin reálných čísel

#6 27. 02. 2013 17:44 — Editoval Witiko (27. 02. 2013 20:08)

Re: Lemma o kompaktnosti podmnožin reálných čísel

#7 27. 02. 2013 17:52 — Editoval martisek (27. 02. 2013 17:53)

Re: Lemma o kompaktnosti podmnožin reálných čísel

#8 27. 02. 2013 19:30 — Editoval Brano (27. 02. 2013 19:32)

Re: Lemma o kompaktnosti podmnožin reálných čísel

Witiko napsal(a):

#9 27. 02. 2013 20:10 — Editoval Witiko (27. 02. 2013 20:11)

Re: Lemma o kompaktnosti podmnožin reálných čísel

Zápatí