Matematické Fórum

polonium · 28. 02. 2013 13:59

Ahojte,

řeším následující slovní úlohy. První jsem asi vyřešil, ale pišu jí sem abych si ověřil správnost postupu.

1. Chceme využít 450m pletiva na oplocení dvou sousedících obdélníkových pozemků o stejném plošném obsahu (na straně, kde sousedí, povede jen jedno oplocení. Jak stanovit jejich rozměry, aby součet plošných obsahů pozemků byl co největší?

Řešení:
Pletivo na oplocení jednoho pozemku $o=2a+1,5b$
$225=2a+1,5b$
$b=\frac{450-4a}{3}$

Z rovnice pro výpočet obsahu $S=a\cdot b$ vytvořím funkci
$f(a)=a\cdot \frac{450-4a}{3}$
$f(a)=\frac{450a-4a^2}{3}$

$f'(a)=\frac{450-8a}{3}$

Najdu maximum pro $f'(a)$
$0=\frac{450-8a}{3}$

A výsledek:
$a=56\frac{1}{4}m$
$b=75m$

2. Pořadatel koncertu může prodat 20 000 lístků při ceně 100,- Kč za lístek. Předpokládá se, že při každém zvýšení ceny lístku o 10,- Kč, prodá pořadatel o 200 lístků méně. Jak má pořadatel stanovit cenu lístku tak, aby získal maximílní příjem?

Tady jde zřejmě o úlohu s elasticitou poptávky. Problém, ale je, že jsem nikdy nic podobného nepočítal, pokud byste mě mohli nasměrovat na příklady podobného rázu (google jsem použil a nenašel jsem nic co by odpovídalo) nebo nastínit řešení, byl bych moc vděčný :)

Arabela · 28. 02. 2013 14:11

Ahoj ↑ polonium:,
oprav si zápis: o=4a+3b; o/2=2a+1,5b

zdenek1

↑ polonium:
2.
$(100+10n)(20000-200n)=y$
$n$ - kolikrát zvýšil cenu o 10 Kč
$y$ příjem

dále stejně jako u 1. Jen upozorňuju, že nemusíš derivovat, ale můžeš využít vlastnosti kvadr. fce.

edit: a zde nějaké příklady

polonium · 28. 02. 2013 21:48

↑ Arabela:
Ono je to vlastně jedno :) Tím, že jsem ten vzorec napsal pouze pro obvod jednoho pozemku jsem si akorát řešení o jeden krok, ale to b vychází pořád stejně :)

Protože:
$b=\frac{225-2a}{1,5}=(225-2a)\cdot \frac{2}{3}$

polonium · 28. 02. 2013 21:50

↑ zdenek1:
Děkuju, teď to vypadá vlastně dost jednoduše. Btw tou vlastností kvadratické funkce jsi měl asi namysli nalezení x-ové souřadnice vrcholku paraboly, že.

polonium · 28. 02. 2013 22:06

Nakonec tu mám na závěr ještě jednu úlohu.

Hustým lesem vede přímá cesta. Jižně od cesty ve vzdálenosti 3 km se nachází hájovna. U cesty 5 km východně od bodu, který je nejblíže hájovně, se nachází restaurace. Hajný do restaurace rád chodí. Lesem může jít rychlostí 2 km/h a po cestě rychlostí 4 km/h. Určete minimální dobu, za kterou se hajný může dostat pěšky z hájovny do restaurace i místo, kde by měl z lesa vyjít na cestu.

Napadlo mě, že situace mohla vypadat následovně:

zdenek1 · 28. 02. 2013 22:27

↑ polonium:
k příspěvku #5 Ano

obrázek spíše takto

rozhodně nebude cesta na tvé úsečce $c$ . To by bylo nejrychlejší jít po ní a nemusel bys nic počítat.

polonium

Ale tuším, že s tím trojúhelníkem jsem měl pravdu, jen to c nebude mířit přímo do restaurace, ale na nějakém úseku té cesty.

Takže řekněme, že cestu lesem zjistím následovně:
$c=\sqrt{3^2+(5-x)^2}$

Takže derivace mi zdělila, že minimum naleznu v x=5, takže po dosazení do rovnice mi vyšlo c=3. Z celého mi tedy vyšlo, že hajný by měl jít 3 km lesem a pak po cestě.

zdenek1 · 01. 03. 2013 07:52

↑ polonium:
podle mně bys měl derovovat
$t=\frac{\sqrt{3^2+(5-x)^2}}{2}+\frac x4$

Matematické Fórum

#1 28. 02. 2013 13:59

Slovní úlohy na derivace

#2 28. 02. 2013 14:11

Re: Slovní úlohy na derivace

#3 28. 02. 2013 15:21 — Editoval zdenek1 (28. 02. 2013 16:37)

Re: Slovní úlohy na derivace

#4 28. 02. 2013 21:48

Re: Slovní úlohy na derivace

#5 28. 02. 2013 21:50

Re: Slovní úlohy na derivace

#6 28. 02. 2013 22:06

Re: Slovní úlohy na derivace

#7 28. 02. 2013 22:27

Re: Slovní úlohy na derivace

#8 01. 03. 2013 00:01 — Editoval polonium (01. 03. 2013 00:28)

Re: Slovní úlohy na derivace

#9 01. 03. 2013 07:52

Re: Slovní úlohy na derivace

Zápatí