Matematické Fórum

Rumburak

Pokud bychom požadovali jen existenci primitivní funkce, pak by by takto byly integrovatelné i některé funkce nespojité a dokonce i funkce, které nelze integrovat riemannovsky.

To je samozřejmě pravda. Ale mně osobně tato okolnost nijak nezneklidňuje, zase jiné funkce jsou integrovatelné riemannovsky
a nikoliv newtonovsky. Hodně zde záleží na tom, podle jakých zdrojů kdo studoval a jaké představy z nich přejal, jak byl ovlivněn
svými učiteli a pod.

jarrro · 01. 03. 2013 10:45

zaujímavá by mohla (pravdepodobne asi ale nebude) otázka či môže existovať definícia integrálu taká, že každá ohraničená funkcia na ohraničenom intervale by bola podľa tej definície integrovateľná

Rumburak

↑ jarrro:

Ahoj. Pokud by taková definice existovala, pak by pro každou omezenou množinu byla definována její míra jakožto integrál
z charakteristické funkce této množiny. Takováto míra by ale nemohla mít všechny z vlastností Lebesgueovy míry, protože
existují množiny Lebesgeovsky neměřitelné (ač omezené). Museli bychm tady poněkud změnit své intuitivní představy
o míře množin, z nichž teorie Lebesgueovy míry vychází.

jarrro · 01. 03. 2013 11:22

↑ Rumburak:tá definícia by nemusela byť Lebesguovho typu.
či to myslíš tak, že ak by ten nový integrál spĺňal sigma aditivitu pre každú funkciu teda, že pre každé spočítateľné delenie intervalu by platilo
$\int\limits_{a}^{b}{f}=\sum_{i}{\int\limits_{x_i}^{x_{i+1}}{f}}$
tak by množinová funkcia definovaná rovnosťou
$m{$A$}:=\int_{I}{\chi{$A$}}$
mala vlastnosti miery a pokiaľ by nový integrál mal v prípade aj Lebesguovsky integrovateľných funkcií hodnotu integrálu zachovať tak by m bola rozšírenie Lebesguovej miery na všetky ohraničené množiny čo by dalo spor s axiómou výberu?
chápem to správne?

Rumburak

↑ jarrro:

Myslel jsem to v podstatě tak, jak popisuješ.

Možná víš, že abstraktní Lebesgueův integrál se dá vybudovat nejen "zdola" vycházejíce z teorie míry, ale též axiomaticky, kdy
integrál je vzat jako primitivní pojem, jemuž jsou přisouzeny určité axiomy popisující nejobecnější vlasnosti integrálu. Této teori
se říká Danielův integrál (možná Daniellův). Při vhodně volbě axiomů dostaneme teorii, které je ekvivelentní teorii Lebesgeově
budované "zdola".

Nemám to ale natolik prostudováno, abych mohl říci, které "přirozené" vlastnosti integrálů bychom se při jeho definici museli vzdát,
abychom se výše popsanému sporu s axiomem výběru vyhnuli.

martisek · 01. 03. 2013 12:20

↑ Rumburak:

Samozřejmě - pokud se vyjasní definice, tak o nic nejde. Zajímavé je, že něco podobného řešíme občas i s derivací. Když třeba na derivaci přijde řeč u státnic a adept u definiční limity zapomene slůvko "vlastní" (to není nic proti ničemu - občas se připouštějí i nevlastní derivace), tak se zeptám na derivaci funkce signum v nule. Ona pak kupodivu existuje - je plus nekonečno. To většinou překvapí i ty, kteří nevlastní derivace připouštějí jako derivace definující svislé tečny resp. polotečny.

Brano · 01. 03. 2013 14:19

↑ martisek:
Ona takto derivacia vie mat aj hlbsi zmysel. V ramci teorie distribucii je to $2\delta(x)$ ak sa nemylim, kde $\delta(x)$ je Diracova delta funkcia.

Pavel Brožek

↑ Rumburak:

Proč by nás měl vůbec součin $f'(0)\cdot g'(0)$ zajímat? V souvislosti s větou o derivaci součinu funkcí by nás spíš měl zajímat výraz $f'(0)\cdot g(0)+f(0)\cdot g'(0)$ , který smysl nemá.

Poznámka k distribucím: Jestli se nepletu, tak jakmile se začneme bavit o derivování ve smyslu distribucí, tak pak nemá smysl se vůbec ptát na derivaci v nějakém bodě, protože distribuce nejdou funkce, které by každému bodu přiřazovaly jiný bod. Nemá teda asi moc smysl psát např. $\text{sgn}'(0)=2\delta(0)$ , jen $\text{sgn}'=2\delta$ .

Rumburak · 02. 03. 2013 11:43

↑ Pavel Brožek:

No já jsem už asi dementní. Spletl jsem si to s větou o LIMITĚ součinu. Díky za upozornění.

Matematické Fórum

#26 01. 03. 2013 10:13 — Editoval Rumburak (01. 03. 2013 10:28)

Re: Kurzweilův integrál

#27 01. 03. 2013 10:45

Re: Kurzweilův integrál

#28 01. 03. 2013 11:02 — Editoval Rumburak (01. 03. 2013 11:08)

Re: Kurzweilův integrál

#29 01. 03. 2013 11:22

Re: Kurzweilův integrál

#30 01. 03. 2013 11:52 — Editoval Rumburak (01. 03. 2013 16:22)

Re: Kurzweilův integrál

#31 01. 03. 2013 12:20

Re: Kurzweilův integrál

#32 01. 03. 2013 14:19

Re: Kurzweilův integrál

#33 02. 03. 2013 10:46 Příspěvek uživatele Rumburak byl skryt uživatelem Rumburak. Důvod: Byl to nesmysl.

#34 02. 03. 2013 11:38 — Editoval Pavel Brožek (02. 03. 2013 11:39)

Re: Kurzweilův integrál

#35 02. 03. 2013 11:43

Re: Kurzweilův integrál

Zápatí