Matematické Fórum

nelka · 01. 03. 2013 18:13

nevíte někdo jak na to? já začala,ale výsledek nevychází? díky za každou radu :)

zadání: Reště v R:

$sinx + \sqrt{3} cosx = \sqrt{2}$
$sinx = \sqrt{2} - \sqrt{3} cos x$
umocním na druhou (nutná zkouška)
$sin^{2}x = 2 - 2\sqrt{2}.\sqrt{3}cosx + 3cos^{2}x$
$1 - cos^{2}= 2-2.\sqrt{6}cosx +3 cos^{2}x$
a=cosx
$0=4a^{2}-2\sqrt{6}a+1$
a jelikož to nejde vzorcem,tak D (D)=8
$a1,2=\frac{2\sqrt{6}\pm \sqrt{8}}{2.4}$

ale pak když to i dám do kalkulačky: a1=cosx a2=cos x
tak to nevychází :(

MÁ TO VYJÍT : $K=\cup \{\frac{5}{12}\pi +2k\pi, \frac{23}{12}\pi +2k\pi \}$

((:-)) · 01. 03. 2013 18:24

↑ nelka:

Po dosadení to vyšlo podľa výsledku, treba uvážiť kvadranty a urobiť skúšku, lebo sa umocňovalo ...

nelka · 01. 03. 2013 18:50

↑ ((:-)): a jo já se přeťukla a dumala nad chybou ,dík :)

Arabela

Ahoj,
trošku podrobnejšie rozpíšem to, čo píše Dana.
Postupovala si správne a vyšlo Ti $a=\frac{2\sqrt{6}\pm 2\sqrt{2}}{2.4}=\frac{\sqrt{6}\pm \sqrt{2}}{4}$ .
Po vyčíslení
$a_{1}\doteq 0,965925826$
$a_{2}\doteq 0,258819045$
Teraz hľadáš všetky korene rovníc
$\cos x=0,965925826$
a
$\cos x=0,258819045$ .
Kosínus je kladný v I. a IV. kvadrante, takže nám z toho vychádzajú až štyri druhy riešení.
Z prvej rovnice $\frac{\pi }{12}+2k\pi$ alebo $\frac{23}{12}\pi +2k\pi$
a z druhej rovnice
$\frac{5}{12}\pi +2k\pi$ alebo $\frac{19}{12}\pi +2k\pi$ .
Ako píše kolegyňa Dana, pri riešení sme umocňovali na druhú, čo vo všeobecnosti nie je ekvivalentná, ale iba dôsledková úprava, takže sa mohlo stať, že nám pribudli nejaké falošné korene. Skúška dosadením do pôvodnej rovnice tie falošné korene vylúči a zostanú len tie, ktoré uvádzaš ako sprťávny výsledok.

Arabela · 01. 03. 2013 19:04

↑ nelka:
napadol mi ešte jeden postup, ktorý si mohla uplatniť. Je menej "pracný", ale trochu trikový.
Najskôr celú rovnicu vydeľme dvomi.
$\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Číslo $\frac{1}{2}$ si môžeme zapísať ako $\cos \frac{\pi }{3}$
a číslo $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ako $\sin \frac{\pi }{3}$ .
Ľavá strana danej rovnice bude mať tvar
$\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$ ,
čo možno podľa súčtových vzorcov zapísať ako $\sin (\alpha +\beta )$ .
Rovnica prejde na tvar
$\sin (x+\frac{\pi }{3})=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ,
ktorú ľahko vyriešime substitúciou a dostaneme presne požadované korene.

jarrro · 01. 03. 2013 19:10

nie je jednoduchšie
$\sin{$x+\frac{\pi}{3}$} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
?

Arabela · 01. 03. 2013 19:40

Ahoj ↑ jarrro:,
áno, je to jednoduchšie (viď môj predošlý príspevok). Je to asi najrýchlejšie k cieľu vedúci postup, pravda, trošku trikový, ako som sa už zmienila.
Do tretice mi napadla možnosť zapísať sin x aj cos x pomocou tg x/2 (známe vzorce s jednoduchým, hoci opäť mierne trikovým odvodením). Vedie k cieľu, no "pracnosťou" je toto riešenie porovnateľné s prvým riešením (ktoré navrhla zadávateľka úlohy).

Matematické Fórum

#1 01. 03. 2013 18:13

složité gon. rovnice

#2 01. 03. 2013 18:24

Re: složité gon. rovnice

#3 01. 03. 2013 18:50

Re: složité gon. rovnice

#4 01. 03. 2013 18:54 — Editoval Arabela (01. 03. 2013 18:55)

Re: složité gon. rovnice

#5 01. 03. 2013 19:04

Re: složité gon. rovnice

#6 01. 03. 2013 19:10

Re: složité gon. rovnice

#7 01. 03. 2013 19:40

Re: složité gon. rovnice

Zápatí