Matematické Fórum

vercaurbiskova

Ahoj, potřebovala bych příklad funkce, která je spojitá, ale není Lipschitovská.

Předem moc děkuji.

Rumburak

↑ vercaurbiskova:

Ahoj. Třeba $f(x) = \arcsin x$ . V okolí krajních bodů íntervalu $[ -1, 1]$ se Lipschitzova vlastnost kazí .

vercaurbiskova · 28. 02. 2013 17:36

Děkuji moc a mohla bych poprosit i o důkaz? Nevím jak to mám dokázat.

Rumburak · 01. 03. 2013 10:01

Třeba takto :

Je-li $u, v \in [ -1, 1] , u \ne v$ (a bez újmy na obecnosti předpokládejme $u < v$ ), potom podle Lagrangeovy věty
o střední hodnotě existuje $\xi \in (u , v)$ takové, že

(1) $\frac {|\arcsin\,v - \arcsin\,u|}{|v-u|} = \frac {\arcsin\,v - \arcsin\,u}{v-u}=(\arcsin\,x)'_{x=\xi}= \frac {1}{\sqrt{1-\xi^2}}$ .

Pokud při tom zároveň $u \to 1_{-}$ , pak též $v \to 1_{-}, \xi \to 1_{-}$ , takže výraz (1) roste nade všechny meze,
zatímco Lipschitzova podmínka požaduje, aby byl omezený.

Obdobná situace je při $v \to -1_{+}$ .

Stačí takto ?

Jiný příklad: $\sqrt[3]{x}$ v okolí nuly . Důkaz na stejném principu si zkus provést už sama.

Brano · 01. 03. 2013 11:33

Rumburak napsal(a):
Jiný příklad: $\sqrt[3]{x}$ v okolí nuly . Důkaz na stejném principu si zkus provést už sama.

Myslim ze tento priklad (resp. vseobecnejsie $x^\alpha,\ \alpha\in(0,1)$ ) je z pedagogickeho hladiska vyznamnejsi. Jednak kvoli jednoduchosti a potom aj kvoli Holderovskym funkciam.

Rumburak

↑ Brano:

Díky, to mi dodatečně také došlo. Chtěl jsem reagovat rychle (už jsem pospíchal), tak jsem napsal první, co mne napadlo.

O Holderovských funkcích vím.

Brano · 01. 03. 2013 14:22

↑ Rumburak:
O tom nepochybujem :-) Skor to bolo myslene pre ↑ vercaurbiskova: ak by mala hlbsi zaujem.

Honza90 · 01. 03. 2013 21:47

↑ Rumburak:
Dá se říct, ze nutná a postačující podmínka pro lipschitzovu spojitost fce na nejakem intervalu je, aby na nem funkce měla vlastní derivaci?

Stýv · 01. 03. 2013 22:31

↑ Honza90: pokud se správně pamatuju, stačí omezená derivace. např. fce 1/x na (0,inf) má vlastní derivaci, ale není lipsch.

vercaurbiskova · 01. 03. 2013 23:12

Děkuji opravdu moc, my to teď bereme ve škole a máme vypracovat zápočtovou práci, ale od našeho učitele to moc nechápu... Opravdu moc jsi mi pomohl :)

Brano · 02. 03. 2013 03:46

↑ Honza90:
diferencovatelnost urcite nie je nutna uvaz napr. $|x|$ .

Rumburak

↑ Honza90:

Řekl bych (neprověřený okamžitý nápad), že Lipschitzově podmínce je ekvivalentní omezenost všech Diniho derivovaných čísel.
Pokusím se nalézt link.

EDIT.
Link na definici Diniho derivovaných čísel (nebo též Diniho derivací) jsem nenašel, ale jejich význam je patrný z tohoto článku.

Honza90 · 02. 03. 2013 12:38

↑ Brano:
tak co to preformulovat takhle: fce nesmí mít na nejakem intervalu nevlastní derivaci

Rumburak

↑ Honza90:

tak co to preformulovat takhle: fce nesmí mít na nejakem intervalu nevlastní derivaci

Pokud Lipschitzovská funkce má v některém bodě derivaci, pak tato drivace je vlastní (tedy není nevlstní). To platí.

A když funkce nemá na intervalu nevlastní derivaci, tak mé platit co ?

Funkce nemající v intervalu nevlastní derivaci nemusí být ještě Lipschitzovská, ani když jde o uz. interval.

Příkladem je, myslím, funkce

$f(x) := x^2 \sin \frac{1}{x^n} \text{pro} x \ne 0 , f(0) := 0$ ,

jestliže $n \in \mathbb{N}$ je dostatešně velké . Problém s L. podmínkou zde bude v okolí nuly.

Brano · 02. 03. 2013 13:36

↑ Honza90:
Ak ti ide cisto o prakticku aplikaciu, tak sa moze hodit taketo tvrdenie.
Nech $f$ je diferencovatelna na intervale $I$ a nech $L=\sup\{|f'(x)|;x\in I\}<\infty$ potom $f$ je Lipschitzovska s konstantou $L$ .

Honza90 · 02. 03. 2013 13:52

↑ Rumburak:
Šlo mě o to ze ma mít vlastní nebo zadnou derivaci, jen ne tu nevlastni

Matematické Fórum

#1 28. 02. 2013 17:16 — Editoval vercaurbiskova (28. 02. 2013 17:17)

Funkce která je spojitá, ale není Lipschitovská

#2 28. 02. 2013 17:32 — Editoval Rumburak (28. 02. 2013 17:33)

Re: Funkce která je spojitá, ale není Lipschitovská

#3 28. 02. 2013 17:36

Re: Funkce která je spojitá, ale není Lipschitovská

#4 01. 03. 2013 10:01

Re: Funkce která je spojitá, ale není Lipschitovská

#5 01. 03. 2013 11:33

Re: Funkce která je spojitá, ale není Lipschitovská

Rumburak napsal(a):

#6 01. 03. 2013 11:54 — Editoval Rumburak (01. 03. 2013 15:19)

Re: Funkce která je spojitá, ale není Lipschitovská

#7 01. 03. 2013 14:22

Re: Funkce která je spojitá, ale není Lipschitovská

#8 01. 03. 2013 21:47

Re: Funkce která je spojitá, ale není Lipschitovská

#9 01. 03. 2013 22:31

Re: Funkce která je spojitá, ale není Lipschitovská

#10 01. 03. 2013 23:12

Re: Funkce která je spojitá, ale není Lipschitovská

#11 02. 03. 2013 03:46

Re: Funkce která je spojitá, ale není Lipschitovská

#12 02. 03. 2013 10:22 — Editoval Rumburak (02. 03. 2013 10:34)

Re: Funkce která je spojitá, ale není Lipschitovská

#13 02. 03. 2013 12:38

Re: Funkce která je spojitá, ale není Lipschitovská

#14 02. 03. 2013 13:10 — Editoval Rumburak (02. 03. 2013 13:22)

Re: Funkce která je spojitá, ale není Lipschitovská

#15 02. 03. 2013 13:36

Re: Funkce která je spojitá, ale není Lipschitovská

#16 02. 03. 2013 13:52

Re: Funkce která je spojitá, ale není Lipschitovská

Zápatí