Matematické Fórum

terezka-1 · 02. 03. 2013 10:50

Prosím o kontrolu příkladu: $\int_{}^{}\int_{}^{}\sqrt{y+1}$ $\Omega :A=(0,0),B=(3,3),C=(0,3)$ .
Meze jsem určila: $0\le x\le 3$ , $0\le y\le x$ . Vyšlo mi $\frac{94}{15}$ .
Moc děkuji

Aquabellla

↑ terezka-1:

Meze pro x jsou dobře.
Meze pro y vypadají takto: $x \le y \le 3$

Edit: Zde je nákres oblasti $\Omega$

terezka-1 · 02. 03. 2013 11:06

↑ Aquabellla:
No jasně. Určila jsem to pro obrácený trojúhelník. Moc děkuji.

terezka-1 · 02. 03. 2013 13:22

↑ terezka-1:

Prosím o kontrolu dalšího příkladu. $\int_{}^{}\int_{}^{}x^{2}y dxdy$ $\Omega :x^{2}+y^{2}\le 4$ $x\ge 0$ $y\le 0$ . Meze jsem určila $0\le x\le 2$ , $\frac{3}{2}\pi \le y\le 2\pi$ . Vyšlo i 4, ale nějak se mi to nezdá. Prosím o pomoc.

terezka-1 · 02. 03. 2013 13:23

↑ terezka-1:
Patří tam, že mi vyšlo 4

Brano · 02. 03. 2013 13:40

Ak $0\le x\le 2$ potom $-\sqrt{4-x^2}\le y\le 0$ .

Aquabellla · 02. 03. 2013 13:41

↑ terezka-1:

Ty jsi měla na mysli transformaci do polárních souřadnic?
Pak nejde udělat takto jen meze, ale i funkci samotnou.

$x = \rho \cos \varphi \nl y = \rho \sin \varphi$

Meze:
$0 \le \rho \le 2 \nl \frac{3\pi}{2} \le \varphi \le 2\pi$

Integrál:
$\int \int x^{2}y dx dy = \int_{0}^{2} \int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} (\rho \cos \varphi)^{2}(\rho \sin \varphi) d\rho d\varphi$
Meze jsou pouze čísla, proměnné nejsou na sobě závislé, jde tedy rozdělit dvojný integrál na součin jednoduchých integrálů:
$\int_{0}^{2} \rho^{3} d\rho \cdot \int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} \cos^{2} \varphi \sin \varphi d\varphi$

terezka-1 · 02. 03. 2013 13:51

↑ Aquabellla:
Nevím, jestli to nepočítám blbě, ale pak mi vychází 0.

terezka-1 · 02. 03. 2013 14:03

↑ Brano:
Když jsem to počítala tímto způsobem, vyšlo mi $\frac{32}{15}$ . Ale nemohu se dopočítat stejného výsledku, když to převedu na polární souřadnice. Prosím, jaké budou meze v polárních souřadnicích?

Aquabellla · 02. 03. 2013 14:06

↑ terezka-1:

Mně vyšlo $- \frac{4}{3}$ .

$\int_{0}^{2} \rho^{3} d\rho = 4$
$\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} \cos^{2} \varphi \sin \varphi d\varphi = - \frac{1}{3}$ - řešila jsem substitucí $t = \cos \varphi$

Kde se rozcházíme ve výpočtech?

terezka-1 · 02. 03. 2013 14:13

↑ Aquabellla:

Nechápu tu substituci. Můžeš to. prosím, trochu rozepsat? Děkuji

terezka-1 · 02. 03. 2013 14:20

↑ terezka-1:
Omlouvám se. chybí mi tam minus. Takže mi vychází $-\frac{32}{15}$

Aquabellla · 02. 03. 2013 14:41

↑ terezka-1:

Substituce:
$t = \cos \varphi \nl dt = - \sin \varphi d\varphi => - dt = \sin \varphi d\varphi$
Transformace mezí při substituci:
$\cos 2\pi = 1$
$\cos \frac{3\pi}{2} = 0$

$\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} \cos^{2} \varphi \sin \varphi d\varphi = - \int_{0}^{1} t^2 dt$

terezka-1 · 02. 03. 2013 14:53

↑ Aquabellla:

Tak teď je mi to jasné. Moc děkuji. Ale nevím, proč to vyjde jinak, pokud nebudu převádět do polárních souřadnic. Tam mi to vychází $-\frac{32}{15}$ . Moc děkuji

Aquabellla · 02. 03. 2013 15:41

↑ terezka-1:

To je mi také záhadou, má to vyjít stejně... někde je asi numerická chyba, ale nemohu na ni přijít. Každopádně hlavní je postup :-)

terezka-1 · 02. 03. 2013 15:50

↑ Aquabellla:
Moc děkuji, ještě to přepočítám

Brano · 02. 03. 2013 21:23 — Editoval Brano (02. 03. 2013 21:29)

$\int\int x^{2}y dxdy=\int_{0}^{2}dx\left(\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{0}dyx^{2}y\right)=-\frac{1}{2}\int_0^2x^2(4-x^2)=-\left[\frac{2x^3}{3}-\frac{x^5}{10}\right]_0^2=-\frac{32}{15}$

↑ Aquabellla:
$\int_{0}^{2} \rho^{3} d\rho \cdot \int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} \cos^{2} \varphi \sin \varphi d\varphi$
tu je chybicka, lebo $dxdy=\rho d\rho d\varphi$ , teda tam ma byt $\rho^4$ a potom to uz vychadza.

Aquabellla · 03. 03. 2013 08:58

↑ Brano:

Jéé, no jo, já zapomněla na Jakobián transformace. Díky :-)

Matematické Fórum

#1 02. 03. 2013 10:50

dvojný integrál

#2 02. 03. 2013 10:57 — Editoval Aquabellla (02. 03. 2013 11:04)

Re: dvojný integrál

#3 02. 03. 2013 11:06

Re: dvojný integrál

#4 02. 03. 2013 13:22

Re: dvojný integrál

#5 02. 03. 2013 13:23

Re: dvojný integrál

#6 02. 03. 2013 13:40

Re: dvojný integrál

#7 02. 03. 2013 13:41

Re: dvojný integrál

#8 02. 03. 2013 13:51

Re: dvojný integrál

#9 02. 03. 2013 14:03

Re: dvojný integrál

#10 02. 03. 2013 14:06

Re: dvojný integrál

#11 02. 03. 2013 14:13

Re: dvojný integrál

#12 02. 03. 2013 14:20

Re: dvojný integrál

#13 02. 03. 2013 14:41

Re: dvojný integrál

#14 02. 03. 2013 14:53

Re: dvojný integrál

#15 02. 03. 2013 15:41

Re: dvojný integrál

#16 02. 03. 2013 15:50

Re: dvojný integrál

#17 02. 03. 2013 21:23 — Editoval Brano (02. 03. 2013 21:29)

Re: dvojný integrál

#18 03. 03. 2013 08:58

Re: dvojný integrál

#19 04. 03. 2013 23:27 Příspěvek uživatele zadyz byl skryt uživatelem zadyz.

Zápatí