Matematické Fórum

teflondon · 03. 03. 2013 16:47

Ahoj, moc prosím.. potřeboval bych pomoct a vysvětlit postup u těchto úloh, pokud možno kdyby to šlo vyvětlit "jako pro blbce"

1. Kolik existuje čtyřciferných čísel větších než 6000 vytvořených z číslic 1,2,4,7,8,9, ve kterých se číslice
a) neopakují (180)
b) mohou opakovat (648)

2. Kolik existuje pěticiferných čísel, ve kterých se cifry neopakují. (27 216)

3. Zmenšíme-li počet prvků o 4, klesne počet variací druhé třídy z těchto prvků o 76. Kolik je prvků? (12)

((:-)) · 03. 03. 2013 16:51 — Editoval ((:-)) (03. 03. 2013 16:56)

↑ teflondon:

Ahoj - prečo si nedal každú úlohu do vlastnej témy?

$V_2(n-4)=V_2(n)-76$

2.

$9\cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6$

Arabela

Ahoj ↑ teflondon:,
kolegyňa Dana Ti už dala návod k tretiemu príkladu a súčasne pripomenula, že každý príklad na fóre treba zadávať samostatne...
Inak, vo všetkých prípadoch ide o variácie, ale uvažovať sa dá aj bez vzorcov, tzv. "okienkovou" metódou...
V 1.príklade:
Nakreslíš si vedľa seba štyri okienka (to sú "pozície" štyroch číslic v štvormiestnych číslach) a pod každé si napíšeš počet možností. Jednotlivé možnosti spolu násobíš podľa kombinatorického pravidla súčinu.
a) Číslo môže začínať iba jednou z číslic 7,8,9 (má byť väčšie ako 6000),
teda pod prvým okienkom máme 3. Pod druhým bude 5 (mohla by tam byť ktorákoľvek z daných šiestich číslic, ale jedna už bola použitá na prvom mieste, takže tá už byť nemôže, keďže číslice sa neopakujú). Pod tretím okienkom bude 4 a pod štvrtým 3,
celkove 3.5.4.3=180.

teflondon · 03. 03. 2013 17:00

dekuju za odpoved, u toho příkladu 3 ale nevím, co s tím mám dále dělat a u té dvojky nevím kde jste k tomu přišla, já bohužel nejsem expert na matiku, tak vůbec netuším :(

((:-)) · 03. 03. 2013 17:08 — Editoval ((:-)) (03. 03. 2013 17:08)

↑ teflondon:

Príklad 3: Dosadiť do vzorca pre variácie ...

Príklad 2:

Na prvé miesto možno dať niektorú z 9 číslic 1 až 9

na druhé miesto tiež niektorú z 9 číslic - odrátať treba už použitú prvú číslicu (nemajú sa opakovať), ale prirátať treba 0, ktorá sa na prvé miesto použiť nedala

na tretie zostáva výber z 8 číslic, na štvrté zo 7 číslic a na piate zo 6 číslic

Celkový počet je teda taký, ako som uviedla.

Arabela

↑ teflondon:
v predchádzajúcom príspevku som rozpísala 1a), a teraz analogicky
1b).
Štyri okienka; pod prvým 3 (čísla môžu začínať len číslicami 7,8,9, čo sú tri možnosti), pod druhým okienkom 6 (ktorákoľvek zo zadaných číslic, keďže sa môžu opakovať), analogicky aj pod tretím aj pod štvrtým okienkom.
Celkove 3.6.6.6=648.

Príklad č.2 analogicky. Tentoraz môžeme použiť všetkých 10 číslic (0,1,...,9), s tým obmedzením, že na prvom mieste nemôže byť nula (to by už nebolo päťmiestne číslo).
Takže: päť okienok vedľa seba; pod prvým 9 (ktorákoľvek číslica okrem nuly), pod druhým opäť 9 možností (ubudla číslica použitá na prvom mieste, ale pribudla nula), a ďalej sa to už stále o jednu možnosť zmenšuje.
Celkove 9.9.8.7.6=27216.

teflondon

tak tu 1 a 2 jsem si to hned napsal na papír ,ten postup a už tomu fakt rozumím, vždycky si na první pozici vyberu tolik čísel kolik jich je z toho výběru větších než to, co mam zadane a zbytek dosazuju podle toho zda se nema opakovat, vzdycky krat o jedno mensi..nebo krat to stejne, kdyz se ma opakovat..
tak dekuju vam, tohle mi hodne pomohlo! :)
a jeste jeste ten treti priklad ,kdyz to dosadim do vzorce pro variace ,tak mi vyjde nejaká blbina..jak to má vypadat ?

((:-)) · 03. 03. 2013 17:39

↑ teflondon:

A aká blbina Ti vyšla?

Stačí dosadiť a vhodne rozpísať faktoriály ...

Arabela · 03. 03. 2013 17:41

↑ teflondon:
stačí poznať vzorec pre počet variácií bez opakovania k-tej triedy z n prvkov.
Tento vzorec sa udáva v dvoch rôznych tvaroch. Jeden z nich (ktorý možno priamo odvodiť "okienkovou" metódou), vyzerá takto:
$V_{k}(n) = n.(n-1).(n-2). ... . [n-(k-1)]=n.(n-1). ... . (n-k+1)$
Treba si uvedomiť, že počet tých činiteľov je k. Používa sa ľahko: začneš n, násobíš o jedna menším, potom o jedna menším, atď., až kým tých činiteľov nie je k.
Napríklad:
$V_{3}(5)= 5.4.3=60$
$V_{4}(10)= 10.9.8.7=5040$
$V_{2}(9)= 9.8=72$
Platí aj všeobecne:
$V_{2}(n)= n(n-1)$
$V_{2}(n-1)= (n-1)(n-2)$

Arabela · 03. 03. 2013 17:50

↑ teflondon:
Iná možnosť je použiť vzorec najčastejšie udávaný v tabuľkách:
$V_{k}(n)=\frac{n!}{(n-k)!}$ .
Tento vzorec sa ľahko získa zo vzorca, ktorý som uviedla (toho s tými tromi bodkami), vhodným rozšírením "zlomku" (výraz sa čímsi vynásobí aj vydelí).
Príklady:
$V_{3}(5)=\frac{5!}{2!}=\frac{5.4.3.2!}{2!}=5.4.3=60$
$V_{4}(10)=\frac{10!}{6!}=\frac{10.9.8.7.6!}{6!}=10.9.8.7=5040$ $V_{2}(9)=\frac{9!}{7!}=\frac{9.8.7!}{7!}=9.8=72$