Matematické Fórum

reimu · 03. 03. 2013 23:00 — Editoval reimu (03. 03. 2013 23:02)

Zdravím.

Rád bych se zeptal proč následující goniometrická rovnice nejde řešit jedním konkrétním způsobem. Zadání: $\textstyle\cos\frac x 2 = \sin x$ , kde $x \in \mathbb{R}$ .

Rovnici jsem vyřešil a řešení mám ověřené, ale zajímalo by mě následující: Proč nejde řešit tak, že bych místo levé strany dosadil $\textstyle\sin\left(\frac\pi 2 - \frac x 2\right)$ (podle identity $\textstyle\cos\theta=\sin\left(\frac\pi 2 - \theta\right)$ )?

Buď opomínám nějaký důležitý fakt, nebo dělám chybu v následujícím kroku, o kterémžto předpokládám, že jest $\textstyle\sin\left(\frac\pi 2 - \frac x 2\right) = \sin x \Leftrightarrow \frac\pi 2 - \frac x 2 = x + 2k\pi$ , kde $k \in \mathbb{Z}$ . Z předchozí rovnice ale vyplývá, že množinou řešení původní rovnice jsou kořeny této lineární rovnice s parametrem, což pravdou není.

Předem děkuji za pomoc při objasnění.

BakyX · 03. 03. 2013 23:05 — Editoval BakyX (03. 03. 2013 23:10)

↑ reimu:

Ahoj. Problém je tu:

$\textstyle\sin\left(\frac\pi 2 - \frac x 2\right) = \sin x \Leftrightarrow \frac\pi 2 - \frac x 2 = x + 2k\pi$

Táto implikácia neplatí. Platí toto:

$\sin x = \sin y \Leftrightarrow (x+y=(2k+1) \pi \vee x-y= 2l \pi)$ , kde $k, l \in \mathhb{Z}$ .

Dokázať sa to dá napríklad z identity

$\sin x - \sin y = 2 \cos $\frac{x+y}{2}$ \sin$\frac{x-y}{2}$$

alebo sa to nahliadne geometricky a posunie o násobok $2\pi$

((:-)) · 03. 03. 2013 23:27 — Editoval ((:-)) (04. 03. 2013 14:32)

↑ reimu:

Zadávateľ z mojej odpovede nemá nič, tak ju teda mažem ...

reimu · 04. 03. 2013 13:57

↑ BakyX: Děkuji, problém je tedy v tom, že ta identita se v tomto případě nemůže použít.

↑ ((:-)): Doporučuji přečíst si celý text ještě jednou, nicméně též děkuji alespoň za snahu přispět.

reimu · 04. 03. 2013 14:32

↑ ((:-)): Ovšem, doporučoval jsem přečíst si moji výpověď z toho důvodu, abyste pochopila, nač se ptám. Rovnici jsem vyřešil obstojným způsobem, ale ptal jsem se, proč nejde řešit jedním konkrétním postupem, jež jsme nastínil ve druhém odstavci svého původního příspěvku.

Nehněvejte se, prosím, neboť jsem nesmírně rád, že se mi snaží pomoci někdo, kdo této problematice rozumí (přinejmenším lépe než já). Školství stojí za starou bačkoru, učitelé jsou neochotní, mnohdy učí matematiku jako podružný předmět a s vícero problémy si neví rady, tudíž jsou vaše postřehy nedocenitelné. Děkuji.

((:-)) · 04. 03. 2013 14:32

↑ reimu:

V poriadku - už som sa zariadila.

Matematické Fórum

#1 03. 03. 2013 23:00 — Editoval reimu (03. 03. 2013 23:02)

Goniometrická rovnice

#2 03. 03. 2013 23:05 — Editoval BakyX (03. 03. 2013 23:10)

Re: Goniometrická rovnice

#3 03. 03. 2013 23:27 — Editoval ((:-)) (04. 03. 2013 14:32)

Re: Goniometrická rovnice

#4 04. 03. 2013 13:57

Re: Goniometrická rovnice

#5 04. 03. 2013 14:32

Re: Goniometrická rovnice

#6 04. 03. 2013 14:32

Re: Goniometrická rovnice

Zápatí