Matematické Fórum

Raptor · 03. 03. 2013 21:46

Dobrý den,
měl bych dotaz ohledně vzdálenosti od limity $\varepsilon$ . V jakém intervalu ji dosazovat? A jak správně dokazovat, že je posloupnost konvergentní (vím, že musí mít limitu, ale dál)?
Co se týče $\varepsilon$ , u spousty příkladů je: "Zvolme si $\varepsilon = \frac{1}{2}$ ." Znamená to tedy, že si můžu zvolit jakékoli číslo, pro které platí $\varepsilon > 0$ , tedy cokoli od 1 do nekonečna?
Moc děkuji za radu :).

Bati · 03. 03. 2013 23:41

Zdravím,
je to vlastně velmi jednoduché, ale je třeba to nejdříve dobře pochopit a pak si na to zvyknout.

Definice konvergence posloupnosti $a_n$ s limitou $L$ :
$a_n\to L\quad\equiv\quad\forall\varepsilon>0\quad\exists n_0\in\mathbb{N}\quad\forall n\in\mathbb{N}\quad n>n_0:|a_n-L|<\varepsilon$ ,
což přeloženo do běžné řeči znamená, že posloupnost má limitu L, když pro libovolně malé, kladné epsilon dokážeme najít člen posloupnosti takový, že všechny následující členy posloupnosti se liší od čísla L o méně než toto epsilon. Tedy ještě jednodušeji: pokud volbou n dokážeme udělat rozdíl $|a_n-L|$ libovolně malý.

Co se týče dokazování konvergence/divergence - je to šité na tu definici, udělám příklad. Např. dokážu, že posloupnost $\{\frac1{n^\alpha}\}$ konverguje k nule pro libovolné $\alpha>0$ :
Nechť je dáno nějaké $\varepsilon>0$ . Nyní podle definice potřebuji dokázat existenci $n_0\in\mathbb{N}$ , takového, že platí zbytek té podmínky. Po chvíli koukání zjistím, že by mělo stačit, když zvolím $n_0:=\frac1{\varepsilon^{1/\alpha}}$ . Pro menší a menší epsilon se n0 bude samozřejmě zvětšovat, což odpovídá intuitivní představě. Nic mi nebrání zvolit větší n0, ale mě jde teď jen o jeho existenci jako čísla menšího než nekonečno. Ověřím, že takové n0 vyhovuje: $\forall n>n_0=\frac1{\varepsilon^{1/\alpha}}:\frac1{n^\alpha}<\frac1{$\frac1{\varepsilon^{1/\alpha}}$^\alpha}=\varepsilon$ , což jsem chtěl. Epsilon jsem na začátku zvolil libovolně, takže to celé platí pro všechna kladná epsilon. Tím je to hotové.

Co se týče té volby toho epsilon, dokážu si to představit v nějakém důkazu, kdy se už využívá nějaké konvergentní posloupnosti, ale bez nějakého většího kontextu nemůžu moc poradit, proč se to volí tímto způsobem.

((:-)) · 04. 03. 2013 00:01 — Editoval ((:-)) (04. 03. 2013 00:01)

↑ Raptor:

Moja predstava:

Limita je o tom, že sa hodnoty postupnosti blížia k nejakému číslu.
Čím je väčšie n, tým bližšie k limite je člen postupnosti patriaci k tomu n.

To znamená, že keď som pri tom čísle (limite) ľubovoľne blízko, vždy sa nájde také poradové číslo člena postupnosti, že tento člen je k tomuto číslu (limite) ešte bližšie - a s ním aj všetky ďalšie členy postupnosti.

A je jedno, ako veľmi blízko toho čísla (limity) som, akú veľkú blízkosť k potenciálnej limite si zvolím.

"Blízko" limity sa charakterizuje voľbou veľmi malého epsilonu - ľubovoľne malého epsilonu - a limita je "ozajstná" vtedy, keď aj pri veľmi malom epsilon (veľkej blízkosti k limite) sa v postupnosti nájde n také, že členy s týmto n a väčším budú k limite ešte bližšie než toto epsilon (ich vzdialenosť od limity bude od zvoleného epsilon menšia)...

Raptor · 04. 03. 2013 00:48

↑ Bati:
Děkuji moc. Ale ještě bych se rád zeptal, jak se přijde na to $n_0:=\frac1{\varepsilon^{1/\alpha}}$ ? A jestli jsem to správně pochopil, můžu klidně za všechna $\varepsilon$ dosazovat např.: jen jedno číslo na milion různých příkladů (např.: $\varepsilon = \frac{1}{2}$ nebo $\varepsilon = \frac{1}{4}$ , ...)?

Raptor · 04. 03. 2013 00:49

↑ ((:-)):
Děkuji :).

vlado_bb

↑ Raptor:Nie, urcite nemozes dosadzovat iba jednu hodnotu epsilon, pretoze vyrok v definicii limity musi byt splneny pre VSETKY epsilon. Asi bude najlepsie, ked si podrobne prejdes niekolko skutocne jednoduchych limit, napriklad $\lim_{n \to \infty} \frac 4n =0, \lim_{n \to \infty} \frac {n-2}{n}=1$ a podobne.

Matematické Fórum

#1 03. 03. 2013 21:46

Limity posloupností

#2 03. 03. 2013 23:41

Re: Limity posloupností

#3 04. 03. 2013 00:01 — Editoval ((:-)) (04. 03. 2013 00:01)

Re: Limity posloupností

#4 04. 03. 2013 00:48

Re: Limity posloupností

#5 04. 03. 2013 00:49

Re: Limity posloupností

#6 04. 03. 2013 10:34 — Editoval vlado_bb (04. 03. 2013 10:35)

Re: Limity posloupností

Zápatí