Matematické Fórum

El_barto · 05. 03. 2013 15:56

Zdravim poradil by mi někdo jak mám řešit řadu $\sum_{n=2}^{\infty }\frac{1}{(lnn)^{lnn}}$
díky

xxxxx19 · 05. 03. 2013 16:54

↑ El_barto:
co to znamena, resit radu? jako komvergenci nebo vycislit dokonce

El_barto · 05. 03. 2013 17:18

martisek · 05. 03. 2013 18:41

↑ El_barto:

↑ El_barto:

Asi srovnávacím kriteriem. Srovnal bych s řadou

$\sum \frac 1 {n^k}$ , která pro k>1 konverguje. Položíme-li např. k =1.001 a n=20, je

$\frac 1 {n^k} \doteq \frac 1 {20}$ , kdežto $\frac{1}{ (ln20)^{ln20}} \doteq \frac 1 {(ln e^3)^{ln e^3}} = \frac 1 {27}$

Pro e^4, e^5 atd. podobně., Řada má konvergující majorantu, takže konverguje.

Stýv · 05. 03. 2013 19:26

↑ martisek: takhle se dokazuje v brně? to snad ne:)

↑ El_barto: jak je definovaná obecná mocnina? když to trochu upravíš, budeš opravdu moct srovnávat s řadou 1/n^k

martisek · 05. 03. 2013 19:34

↑ Stýv:

"když to trochu upravíš, budeš opravdu moct srovnávat s řadou 1/n^k"

Vidím, že jinde se to dokazuje úplně stejně, jako v Brně

Stýv · 05. 03. 2013 20:04

↑ martisek: to samozřejmě nebyl důkaz, ale návod, jak postupovat

martisek · 06. 03. 2013 10:06

↑ El_barto:

Vidím, že skvělého mimobrněnského důkazu se asi nedočkáte, vezměte tedy zavděk důkazem brněnským:

Řada $\sum \frac 1 {n^k}$ pro k>1 konverguje a je majorantou. Je totiž

$\sum \frac 1 {n^k}= \sum \frac 1 {e^{k\ln n}}=\sum \frac 1 {(e^{\ln n})^k}$

kdežto

$\sum \frac 1 {\ln n^{\ln n}} = \sum \frac 1 {( e^{\ln n}) ^ {\ln \ln n}}$

Protože k je konstanta a $\ln \ln n$ roste, existuje n_0 tak, že pro každé n>n_0 je $k<\ln \ln n$ , tj.

$\frac 1 {(e^{\ln n})^k}> \frac 1 {( e^{\ln n}) ^ {\ln \ln n}}$

Řada

$\sum \frac 1 {\ln n^{\ln n}}$ má tedy konvergující majorantu

$\sum \frac 1 {n^k}$

takže konverguje.