Matematické Fórum

kolejo · 06. 03. 2013 14:53

Dobrý den všem,
tak především, ano, hledal jsem na fóru, našel jsem něco docela odpovídajícího, tak tedy nebudu tady sázet něco o "tohle je zadání, co teď". Něco prostě už mám a chtěl bych se s Vaší váženou pomocí dozvědět, jestli jsou mé úvahy správné, jestli někde něco neopomíjím. Jistě víte, to mám na mysli.

$\text{Mějme prosté lineární zobrazení } \varphi :U \longrightarrow V \text{ a vektory } u_{1}, ..., u_{k} \in U:$
$\text{Dokažte, že pokud jsou tyto vektory lineárně nezávislé v prostoru U, jsou lineárně nezávislé také vektory } \varphi (u_{1}),..., \varphi (u_{k}) \text{v prostoru V.}$
$\text{Najděte příklad nenulového lineárního zobrazení a vektorů takových, které jsou lineárně nezávislé v U, že jejich obrazy jsou lineárně závislé ve V.}$

No a mým řešením je toto. Vynechám různé předpoklady a jdu přímo k věci:
$a_{1}u_{1}+ ...+ a_{k}u_{k}=0 \Rightarrow a_{1}=...=a_{k}=0$ protože jsou lineárně nezávislé
$\varphi (a_{1}u_{1}+ ...+ a_{k}u_{k})= \varphi (0)$ takto mohu aplikovat lineární zobrazení, protože je prosté, nulu to zobrazí na nulu, tak to pak upravím, skaláry před...
$a_{1}\varphi(u_{1})+ ...+ a_{k}\varphi(u_{k})= 0$ teď si nejsem úplně jistý, alé...pokusím se:
My jsme ukázali, že jediným tím řešením je, že ty skaláry (áčka) jsou nulové, teď bych měl asi nějak využít tu vlastnost, že to je prosté, ne? Kde toho využívám? Mně připadne, že z té rovnosti je vidět, že obrazy vektorů z prostého lin.zob. jsou lin. nezávislé. Tedy je toto konec důkazu?
Mohu prohlásit: Obrazy jsou lin. nez., C.B.D.?

Následně pak ten příklad, to by mohlo být zobrazení A(f)=f', tedy lin. nez. konstantním to dá nulu, lin. závislou. Tam nemám moc pochyb, zvlášť když jsem to nevymyslel úplně sám.

Moc děkuji za jakoukoliv radu a pomoc.
Mějte se,
kolejo

Andrejka3 · 06. 03. 2013 15:01

↑ kolejo:
Co takhle opačně: Jsou-li a_1,...,a_k skaláry a platí
$a_{1}\varphi(u_{1})+ ...+ a_{k}\varphi(u_{k})= 0$ , pak z linearity plyne
$\varphi (a_{1}u_{1}+ ...+ a_{k}u_{k})= \varphi (0)$ .
Protože \varphi je proste, plati
$a_{1}u_{1}+ ...+ a_{k}u_{k}=0$ . Vektory u_1,...,u_k jsou LN, tedy
$a_{1}=...=a_{k}=0$ .
Dokazano, ze jedina lin. komb. danych vektoru, ktera je rovna nulovemu vekt., je trivialni lin. komb.

kolejo · 06. 03. 2013 15:04

↑ Andrejka3:
Aha, jo jasně, fajn, děkuju, to je dobrý.
Tak já...to za deset minut označím za vyřešené, kdyby někdo chtěl totiž něco připsat, tak má ještě chvilku čas.
Ještě jednou děkuju.
kolejo

vanok · 06. 03. 2013 15:16

ahoj ↑ kolejo:,
Ca sa tyka dokazu
$\text{Dokažte, že pokud jsou tyto vektory lineárně nezávislé v prostoru U, jsou lineárně nezávislé také vektory } \varphi (u_{1}),..., \varphi (u_{k}) \text{v prostoru V.}$
Ak sa zda, pochopil si o co ide, no vsak v tvojej uvahe chyba dobra struktura dokazu... co sa tyka argumentacie.

Treba vlastne dokazat, za hypotezy injektivity lin. aplikacie $\varphi$ ;
a L.N. danych vektorov v U ,
ze plati
$a_{1}\varphi(u_{1})+ ...+ a_{k}\varphi(u_{k})= 0_V$
implikuje, ze $a_{1}=...=a_{k}=0$ .

Dokaz:
vieme ze
$a_{1}\varphi(u_{1})+ ...+ a_{k}\varphi(u_{k})= \varphi (a_{1}u_{1}+ ...+ a_{k}u_{k})= \varphi (0)=0_V$
vdaka injektivite aplikacie $\varphi$ , mame ze $a_{1}u_{1}+ ...+ a_{k}u_{k}=0_U$
co nam da
$a_{1}=...=a_{k}=0$ . (lebo podla predpokladu $u_1,..., u_k$ su L.N.)

KONKLUZIA ....... dopln to

poznamka: tazkost tohto cvicenia je dobre prepisat do bezneho jazyka matematicky procesus.

Co sa tyka dalsej otazky: stacui zobrat lubovolnu neinjektivnu aplikaciu.

kolejo · 06. 03. 2013 15:24

↑ vanok:
Děkuji za pomoc.
Takže: KONKLUZIA
pokusím se doplnit.
Moc jasně nevidím, co tam chybí...tedy když máme ty skaláry nulové (díky tomu předpokladu), tak i obrazy
$(a_{1}\varphi(u_{1})+ ...+ a_{k}\varphi(u_{k})= 0_V)$ jsou lineárně nezávislé, tedy jiná než triviální kombinace tam není, což jsme chtěli dokázat.

vanok · 06. 03. 2013 15:33

Presne to tam chybalo.

kolejo · 06. 03. 2013 15:36

↑ vanok:
Děkuji moc!
Tak teď už v klidu označuji za vyřešené.
S pozdravem,
kolejo

Matematické Fórum

#1 06. 03. 2013 14:53

Důkaz lineární nezávislosti obrazů

#2 06. 03. 2013 15:01

Re: Důkaz lineární nezávislosti obrazů

#3 06. 03. 2013 15:04

Re: Důkaz lineární nezávislosti obrazů

#4 06. 03. 2013 15:16

Re: Důkaz lineární nezávislosti obrazů

#5 06. 03. 2013 15:24

Re: Důkaz lineární nezávislosti obrazů

#6 06. 03. 2013 15:33

Re: Důkaz lineární nezávislosti obrazů

#7 06. 03. 2013 15:36

Re: Důkaz lineární nezávislosti obrazů

Zápatí