Matematické Fórum

bobik · 22. 12. 2008 13:52 — Editoval bobik (28. 12. 2008 02:14)

Ahoj,
viem mali by sa sem písať naznačené, resp. nedokončené riešenia príkladov, ale pre nedostatok času sa obraciam na Vás a chcem Vás poprosiť o pomoc pri riešení príkladov, ktoré sú uvedené nižšie.
Za prípadnú pomoc vopred ďakujem

príklady sú z Metody riesenia matematickych uloh, Odvarko

136/4
Je dany parametricky system funkcii $y = x^2 - 4 |x - 1| - p,p \epsilon R$ . Urcte vsetky funkcie systemu, ktorych graf ma s osou x spolocne prave tri rozne body.

136/5
Urcte vsetky funkcie parametrickeho systemu $y = x^2 + bx + c,b \epsilon R, c \epsilon R$ , ktore nadobudaju na intervale <-0,5; 1> najmensiu hodnotu 1 a najvacsiu hodnotu 2.

140/3
Je dana rovnica $x^2 + m = - |x| + p$ s neznamou x patri R a s parametrami m, p patria R. Rozhodnite o pocte prvkov mnoziny vsetkych jej rieseni v zavislosti od hodnot parametrov m, p.

144/4 f
Rieste nasledujucu nerovnicu s neznamou x patri R a s parametrom q patria R.
$|x - q| > 2q$

144/4 h
Rieste nasledujucu nerovnicu s neznamou x patri R a s parametrom q patria R.
$\sqrt{(x + q^2 )} \le q.$

lukaszh

↑ bobik:
V prvom príklade treba určiť p tak, aby rovnica $x^2-4|x-1|=p$ mala práve tri riešenia. Najlepšie je úlohu riešiť graficky. Funkcia nie je natoľko zložitá aby nebolo možné ju načrtnúť, uvediem ale výpočet:

Ak x je z intervalu (-oo; 1) potom sa rieši rovnica

Ak x je z intervalu (1; oo) potom

Tri riešenia nastanú len pre prípad p = 0.
$$x_1=\frac{-4+\sqrt{32}}{2}$\quad\wedge\quad$x_2=\frac{-4-\sqrt{32}}{2}$\quad\wedge\quad$x_3=2$$

Pavel Brožek · 23. 12. 2008 20:06

↑ lukaszh:

Myslím, že nastávají také pro p=1.

lukaszh · 23. 12. 2008 20:13

↑ BrozekP:
No iste, prehliadol som :-)

bobik · 24. 12. 2008 19:54 — Editoval bobik (26. 12. 2008 18:32)

↑ lukaszh:
dakujem za pomoc s prvym prikladom. S tymi dalsimi prikladmi by ste mi nevedeli pomoct?

bobik · 26. 12. 2008 18:50 — Editoval bobik (26. 12. 2008 18:56)

mohlo by byt ten druhy priklad rieseni takto?
Kedze $x^2$ je kadny clen tak vieme, ze graf funkcie bude mat minimum v deriviacii teda urcim derivaciu funkice z nej zistim b = 1-2x pre $x \epsilon <-0.5,1>$ a potom iba dosadim do funkcie $x^2 + (1-2x)x + c \le 2$ pre $x \epsilon < -0.5,1>$ a z tohto vyjadrit b a c.

ale jedna vec mi tam nesedi, je to riesenie iba pre pripad ze minimum funkcie sa nachadza na tomto intervale, ale co ak miminum je mimo tento interaval a tymto intervalom funcia ba prechadza a to napr. pre x = -0.5 ma hodnotu f(x)=1 a pre x = 1 ma hodnotu f(x)=2. Vtedy to tiez sedi podla zadania.

Poradte prosim

jelena · 26. 12. 2008 20:28

↑ bobik:

Zdravím :-)

toto bude jen nápad - máme zadaní paraboly s kladným a, tedy má minimum.

Uvažuješ 3 možnosti:
- min funkce jiste je na zadaném intervalu /tam, kde derivace je nulova (2x+b=0), y bude mít svou minimální hodnotu 1 (x^2+bx+c=1),
- na zadaném intervalu je "klésající vetev" paraboly (min hodnota pro interval bude v x =1, max pro interval v x=-0,5)
- na zadaném intervalu je "rostoucí vetev" paraboly (min hodnota pro interval je x = -0,5, max v x = 1)

Dává to smysl?

lukaszh

↑ bobik:
Tak ako povedala ↑ jelena: (Zdravím :-) treba rozobrať tri situácie.
Prvá, že funkcia nadobúda minimum na danom intervale, no súčasne nadobúda aj maximálnu hodnotu 2 pre ten istý interval.

Môžeš vidieť, že na obrázku je načrtnutá jediná možnosť. Výpočtom:
$y'=2x+b$
Minimum nadobúda funkcia v bode $x_0=-\frac{b}{2}$ . Chceme, aby hodnota v danom bode x_0 bola 1. Vznikne rovnica:

Týmto som ale vypočítal množinu všetkých funkcií takých, že ich minimum je 1. Ak si označím b ako parameter lambda:
$\{[x,y]\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}\,|\,y=x^2+\lambda x+1+\frac{1}{4}\lambda^2\,;\;\lambda\in\mathbb{R}\}$
Potrebujem nájsť ale takú z nich, ktorá nadobúda v okrajovom bode <-0,5 ; 1> maximálnu hodnotu 2:
$2=1^2+\lambda+1+\frac{1}{4}\lambda^2$
Výpočtom dospeješ k dvom riešeniam, no vyhovuje len lambda = 0. Porozmýšľaj a uvidíš prečo. Hľadaná prvá parabola je:
$\red\boxed{y=x^2+1}$
Teraz ešte treba dopočítať druhú parabolu (osovo súmernú s prvou). Zistíš ju tak, že dosadíš zasa okrajový bod -0,5 do funkcie a položíš rovné hodnote 2:
$2=(-0,5)^2-0,5\cdot\lambda+1+\frac{1}{4}\lambda^2$
Opäť ti vyjdú dva korene, z ktorých vyhovuje len jeden a to lambda = -1, druhá parabola je
$\red\boxed{y=x^2-x+\frac{5}{4}}$

Druhá možnosť je tá, kedy parabola prechádza cez body
$f$-\frac{1}{2}$=1\nlf(1)=2$
alebo druhá možnosť
$f$-\frac{1}{2}$=2\nlf(1)=1$
Nie je nič ľahšie, stačí riešiť sústavu o dvoch neznámych b,c:
$1=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}b+c\nl2=1+b+c$
Riešiť to nebudem, nevyjde to tak ako čakám. Parabola síce prechádza cez dané body:

ale minimum je ešte menej ako 1. Zmeniť by sa to dalo len a len pridaním člena "a" pred x^2, inak s parabolou nejde robiť zázraky. Pokiaľ ide teda len o normovaný tvar x^2+bx+c, pokladal by som za jediné riešenie horeuvedené dve paraboly.

jelena · 28. 12. 2008 12:48

↑ bobik:

140/3

$x^2 + m = - |x| + p$ upravím na tvar:

$x^2 = - |x| + (p-m)$ levá strana parabola, pravá strana "obracené Večko", které se bude posouvat po ose y nahoru dolu, v závislosti na (p-m). Zkoumám počet kořenů, pokud p, m jsou stejné (1 kořen), p větší než m (posun o kladné číslo nahoru), p menší než m...

OK?

jelena · 28. 12. 2008 12:56

↑ bobik:

144/4f

$|x - q| > 2q$

je potřeba rozebrat řešení pro q záporné, nulové a kladné. Pro kladné q je dobré si vzpomenout hrafické řešení nerovnic s absolutní hodnotou.

bobik · 02. 01. 2009 12:25 — Editoval bobik (06. 01. 2009 12:53)

↑ jelena:
ahoj takze v priklade 140/3 je to tak, ze pokial mame rozhodnut o pocte prvkov mnoziny vsetkych rieseni rovnice v zavislosti od hodnot parametrov m, p, tak sledujeme priesecniky grafov rovnic $x^2$ a $-|x| + (p - m)$ .
1 riesenia pre priipad, ze m = p a to x = 0.
2. riesenia pre pripad , ze p > m. Graf $x^2$ sa pretne s grafom $-|x| + (p - m)$ v dvoch bodoch
0. riesenii pre pripad, ze p < m. Tu su grafy disjunktne a nemaju teda ziadny spolocny bod.
graf $x^2$

graf $-|x| + (p - m)$

V tom dalsom priklade $|x-q| > 2q$ nemam celkom jasno
pre q =0 mi to vyslo, ze mnozina vsetkych rieseni je prazdna mnozina ale pre ostatne pripady mi to nevsilo ako by som cakal., napr. pre q < 0 tam treba este presetrit pripady kedy x >(<,=) q no a tu som sa nejak zamotal, viem mozno je to lahky priklad ale nejak v nom nemam jasno

A ten posledny priklad $\sqrt{x+q^2}\le q$ som riesil v dvoch podpripadoch
1. $q \ge 0$
$\sqrt{x+q^2} \le q$ mozem upravit po umocneni na tvar
$x+q^2 \le q^2$ z coho $x \le 0$

2. $q < 0$
$\sqrt{x+q^2 }\le q$ upravim na tvar
$x+q^2 > q^2$ z coho $x > 0$

dostavam tak riesenie pre $q \ge 0$ je mnozina rieseni $(-\infty,0>$ a pre $q < 0$ je mnozina rieseni $(0, \infty)$
je to spravny postup alebo som to neriesil dobre?

dakujem

jelena · 02. 01. 2009 14:03 — Editoval jelena (02. 01. 2009 14:13)

bobik napsal(a):
V tom dalsom priklade $|x-q| > 2q$ nemam celkom jasno
pre q =0 mi to vyslo, ze mnozina vsetkych rieseni je prazdna mnozina

|x| > 0 pro každé x z R bez 0

bobik napsal(a):
pre q < 0 tam treba este presetrit pripady kedy x >(<,=) q

pokud je q záporné, absolutní hodnota |x-q| je určitě větší, než cokoliv záporného.

A zbyvá ještě došetřit q větší nuly. OK?

bobik napsal(a):
posledny priklad $\sqrt{x+q^2} \le q$

je potřeba také zohlednit definiční obor (máme výraz x+q^2) pod odmocninou.

a pro záporné q (2. úprava) - uvědomit, jak definovan výsledek odmocňování v R - může být pouze nezáporný.

Je to trochu v rychlosti, snad jsem nic nepřehlédla.

bobik · 03. 01. 2009 20:38 — Editoval bobik (06. 01. 2009 12:35)

↑ jelena:
V tom |x-q| > 2q pre q > 0 mi to teda vyslo, ze x je z intervalu (-00, -3q) zjednotene s (3q, 00) snad to bude dobre. a pre pripad s tou odmocninou mi vysli podmienky, odmocnina musi byt nezaporna ako si uviedla, to som zabudol riesit, takze
x >(=) -q^2 oznacim (1)
a potom este riesit tie da podpripady pre

q >(=) 0, vyslo x <(=) 0 oznacim (2) a pre
q < 0 , vyslo prázdna množina .

riesenim bude potom prienik (1)a(2) t.j. <-q^2,0> a prázdna množina, je to spravne?

Matematické Fórum

#1 22. 12. 2008 13:52 — Editoval bobik (28. 12. 2008 02:14)

úlohy s parametrom,

#2 23. 12. 2008 19:53 — Editoval lukaszh (23. 12. 2008 20:16)

Re: úlohy s parametrom,

#3 23. 12. 2008 20:06

Re: úlohy s parametrom,

#4 23. 12. 2008 20:13

Re: úlohy s parametrom,

#5 24. 12. 2008 19:54 — Editoval bobik (26. 12. 2008 18:32)

Re: úlohy s parametrom,

#6 26. 12. 2008 18:50 — Editoval bobik (26. 12. 2008 18:56)

Re: úlohy s parametrom,

#7 26. 12. 2008 20:28

Re: úlohy s parametrom,

#8 26. 12. 2008 22:34 — Editoval lukaszh (26. 12. 2008 22:36)

Re: úlohy s parametrom,

#9 28. 12. 2008 12:48

Re: úlohy s parametrom,

#10 28. 12. 2008 12:56

Re: úlohy s parametrom,

#11 02. 01. 2009 12:25 — Editoval bobik (06. 01. 2009 12:53)

Re: úlohy s parametrom,

#12 02. 01. 2009 14:03 — Editoval jelena (02. 01. 2009 14:13)

Re: úlohy s parametrom,

bobik napsal(a):

bobik napsal(a):

bobik napsal(a):

#13 03. 01. 2009 20:38 — Editoval bobik (06. 01. 2009 12:35)

Re: úlohy s parametrom,

Zápatí