Matematické Fórum

Elune · 07. 03. 2013 16:29

Ahoj, mohl by mě někdo trošku popostrčit, jak zjistit, na kterém intervalu konverguje stejnoměrně fční řada $sin^{n}x$ ? Vím, že se dá použít Weierstrassovo kritérium, kde $|fn(x)| \le a_{n}$ , ale nějak nemůžu přijít na to $a_{n}$ :-/

Rumburak · 07. 03. 2013 16:46

↑ Elune:
Ahoj.

Uvědom si, jaké vlastnosti z toho kriteria má mít poslopnost $(a_n)$ - pak ji snadno najdeš.

Elune · 07. 03. 2013 16:53

↑ Rumburak: No obávam se, že to bude asi ten problém, přes kterej se nedostanu.

Rumburak · 07. 03. 2013 17:12

Má platit

(1) $|\sin^n x| \le a_n$ pro každé $n = 1, 2, ...$ a $x \in J$ ( $J$ je hledaný interval stejnoměrné konvergence) ,

(2) $\sum_{n=1}a_n < +\infty$ .

Další nápověda:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Elune · 07. 03. 2013 17:47

↑ Rumburak: Tak bych si mohla jako $a_{n}$ zvolit $\frac{1}{n^{2}}$ ??
A $sin^{n}x \le \frac{1}{n^{2}}$

martisek · 07. 03. 2013 19:26

↑ Elune:

Zkusil bych to trochu názorněji, protože tady je základem dobrá představa. Vezměme posloupnost funkcí $f_n(x)= \frac {x^2} n$

Tato posloupnost konverguje bodově k funkci f(x) = 0 na celé reálné ose, protože když vezmu libovolné x_0, pak posloupnost $f_n(x_0)$ fukčních hodnot funkcí f_n v tomto bodě jako číselná řada konverguje k nule.

Tato posloupnost ovšem konverguje k funkci f(x) = 0 také stejnoměrně. To proto, že ať si zvolím libovolné (jakkoli malé) epsilon větší než nula a sestrojím kolem f(x) = 0 epsilonový pás, pak v posloupnosti "dříve či později" vždycky najdu funkci f_n(x), jejíž graf leží celý v tomto pásu a totéž platí pro všechny funkce s vyšším indexem.

Posloupnost funkcí $f_n(x) = \frac {2} {\pi } arctg nx$

konverguje bodově k funkci f(x) = sgn x. Pro každé x_1< 0 konverguje číselná řada funkčních hodnot k mínus jedničce, pro x_2> 0 k jedničce, pro x_3=0 k nule.

Tato konvergence však v tomto případě není stejnoměrná, protože stačí zvolit jakýkoliv pás užší než jedna, tj. například epsilon = 1/10, a jistým n počínaje už část všech dalších grafů leží mimo tento pás. V tomto případě tím "jistým n" je dokonce hned to první - mimo pás leží část všech grafů, protože všechny musejí projít bodem [0;0], který je mimo tento pás.

Takže teď to chce jediné: podobně si zkusit načrtnout sin^n x, podobně nad tím obrázkem zauvažovat, a pak tu úvahu zformulovat matematicky ve stylu předchozích příspěvků.

Stýv · 07. 03. 2013 19:44

↑ martisek:

1) x^2/n určitě nekonverguje stejnoměrně na celém R

2) zrovna bod [0,0] v tom "pásu" leží

Elune · 07. 03. 2013 20:03

↑ martisek: tak kreslení funkcí mi pomohlo a od pohledu jsem zvládla interval $(-\frac{\pi }{4} , \frac{\pi }{4})$ ze šesti možností, ale bez nich nevim, nevim, nějak v tom počítání stejnoměrný konvergence fčních řad plavu, posloupnosti se zvládnout daly, ale tohle si nedokážu představit. Nikdy nevim, co by bylo vhodný jako $a_{n}$ ani když si tu funkci nakreslim.

martisek · 07. 03. 2013 20:04

↑ Stýv:

A pro kterou podmnožinu R nekonverguje?

user · 07. 03. 2013 20:05 — Editoval user (07. 03. 2013 20:07)

↑ martisek:
$\frac{x^2}{n}$ Rozhodně nekonverguje stejnoměrně na celém R.
$\lim_{n \to +\infty}\sup_{x\in\mathbb{R}}|\frac{x^2}{n}-0|\ge\lim_{n \to +\infty}\frac{n^2}{n}=+\infty\not =0$

martisek · 07. 03. 2013 20:36

↑ user:

No jo, jenomže to je zase otázka definice. Jestliže řeknu, že něco neplatí na celém R, musím najít nějaká reálná čísla, pro která to neplatí. Pokud při definicích začnu takto limitovat, tak pak není pravda ani to, že pro všechna reálná x je $\frac {1} {x^2+1}>0$ /. Vždyť přece $\lim_{x \to \infty }\frac {1} {x^2+1} =0$

user · 07. 03. 2013 20:57

To je podstata stejnoměrné konvergence. Pokud by šlo o lokálně stejnoměrnou, tak bude odpověď jiná.
Stejnoměrná konvergence je pojem který je důsledně spojen s množinou na které ho vyšetřuji. Samozřejmě je to otázka definice, ale stejnoměrné konvergence je definována takto:
$(\forall\varepsilon>0)(\exists n_0)(\forall n>n_0)(\forall x\in A)(|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon)$
Tento výrok jsem ve svém minulém příspěvku tou limitou vyvrátil pro $f_n(x)=\frac{x^2}{n}$ , A=R f=0.

Druhý výrok znamená
$(\forall x \in \mathbb{R})\left( \frac {1} {x^2+1}>0\right)$ . Ten nemohu nijak vyvrátit, leda kdybych si předefinoval symbol " $>$ " na " $\tilde{>}$ ", což by znamenalo $x\tilde{>}y \Leftrightarrow (\exists\varepsilon>0)(x>y+\varepsilon)$ .

user · 07. 03. 2013 21:06 — Editoval user (07. 03. 2013 21:13)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Omlouvám, právě jsem si správně dočetl téma. Doporučuji navázat na příspěvek a pokračovat ↑ Rumburak:.

↑ Elune:
Ano to by šlo, napsanou nerovnost bys ale musela dokázat, což se obávám, že nebude úplně jednoduché.

user · 07. 03. 2013 21:32

↑ Elune:
Tady kreslení až tak často nepomůže. Je dobré ověřit "nutnou podmínku konvergence". Jinak už samotný číselný řady nejsou na vyšetření konvergence nic moc.
"Rozumné" na odhad jsou:
$\sum a^n$
$\sum \frac{1}{n^{\alpha}}$
Maximálně
$\sum \frac{1}{n\ln^{\alpha}n}$

Elune · 07. 03. 2013 22:01

↑ user: Myslíš, že bys mi mohl na nějakym příkladu popsat krok po kroku, jak stejnoměrnou konvergenci nejlíp vyšetřit u nějaký složitější řady, než jsou tyhle, jak bys to udělal, jak bys uvažoval? Třeba u $cos^{n}$ ? (Já vim, jsem otravná, ale zdá se mi, že profesoři jsou moc chytrý na to, aby to dokázali vysvětlit nějak polopatě, tak musim shánět a vyptávat se, kde se dá.)

martisek

↑ Elune:

Obávám se, že tady to nikdo nijak extra nevysvětlí, natož polopatě. Když se po té diskusi rozhlídneš, tak i tady jsou ti stejní "moc chytří profesoři", co to vysvětlit nedovedou. A dokonce se obávám, že jim o vysvětlování ani nijak zvlášť nejde.

user · 07. 03. 2013 22:15 — Editoval user (07. 03. 2013 22:19)

No třeba u toho cosinu bych postupoval stejně jako u sinu.
Volil bych $y=\cos(x)$ .
Řadu $\sum y^n$ znám, konverguje stejnoměrně pro $y\in\langle-1+\varepsilon,1-\varepsilon\rangle$ .
Vrátím ze zpět v substituci a pokud se omezím na první půlperiodu cosinu. Platí:
$\cos(x)\in\langle-1+\varepsilon,1-\varepsilon\rangle \Rightarrow x\in\langle\tilde{\varepsilon},\pi-\tilde{\varepsilon}\rangle$
Takže výsledek je:
$\sum\cos^n(x) \stackrel{\langle\varepsilon,\pi-\varepsilon\rangle}{\rightrightarrows}$

user · 07. 03. 2013 23:13 — Editoval user (07. 03. 2013 23:14)

↑ Elune:
Ještě doplním jak uvažuji, při řešení já.

1. Je splněná nutná? $f_n(x)\stackrel{A}{\rightrightarrows}0$
Není splněno nekonverguje.

2. Zkusím Weierstrasse
Naleznu majorantu - konverguje
Jinak nevím.

3. Podívám se jestli nelze aplikovat další kritérium
lze a funguje - konverguje
Jinak nevím.

4. Zkusím ukázat divergenci z negace Bolzano-Cauchyho kritéria.

Pokud žádný bod nerozhodne, tak neumím rozhodnout

Elune · 08. 03. 2013 10:02

Děkuju vám moc. :)

Rumburak

↑ Elune:

Myslel jsem (a v tomto smyslu jsem i napověděl v ↑ Rumburak:) na jinou majorantu :

Je-li například $K \in $0, \frac{\pi}{2}$$ , potom pro libovolné $x \in \langle-K, K\rangle$ je $|\sin x| \le \sin K \in (0, 1)$ ,

takže k funkčním řadám

(1) $\sum |\sin^n x|$ , $\sum \sin^n x$

na intervalu $\langle-K, K\rangle$ je konvergentní majorantou geometrická řada $\Sigma q^n$ s kvocientem $q = \sin K$ .

Tím je podle W. kriteria dokázána stejnoměrná konvergence řad (1) na intervalu $\langle-K, K\rangle$ .

Na základě průběhu funkce sinus jistě nebude těžké nalézt další takové intervaly.

Závěr:

Každá z řad (1) konverguje stejnoměrně na každém takovém uzavřeném intervalu, v němž neleží žádný lichý násobek čísla $\frac{\pi}{2}$ .

PS. Nenapadlo by mě, že okolo takovéto jednoduché úlohy vyvstane tolik humbuku :-) .