Matematické Fórum

kolejo · 07. 03. 2013 20:40

Dobrý večer,
mám tu udělat důkaz ze spojitosti. Než se k tomu vůbec dostanu, chtěl bych pochopit, s čím mám co do činění. Nějak mi to není jasné. Předem děkuji za pomoc.

Z definice spojitosti dokažte:
Je-li funce f: R->R spojitá v bodě a, pak existuje
$K>0\text{ a } \delta _{0}>0$
tak, že pro všechna
$x\in (a-\delta _{0},a+\delta _{0})$
platí
$|f(x)|\le K$

Chápu správně, že spojitost v bodě je definována tak, že se limita v tom bodě rovná své funkční hodnotě?
Pořád ale jasně nechápu, jaké tvrzení chci dokázat. Představuji si ten obrázek problému a nevím, proč by to mělo platit. Děkuju za pomoc.
kolejo

Wellcosh · 07. 03. 2013 21:00

Spojitá v a, tedy
$(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta_0>0)\left(x \in (a-\delta_0, a+\delta_0) \Rightarrow f(x) \in (f(a)-\varepsilon, f(a)+\varepsilon)\right)$
Stačí tedy vzít $\varepsilon=1$ a položit $K=f(a)+1$

kolejo · 07. 03. 2013 21:05

↑ Wellcosh:
Tak to děkuji, jste frajer.

Stačí to jako důkaz?
A co s tím tvrzením? To chceme dokázat, že pokud je funkce v bodě spojitá, tak se ta funkce tam dá uzavřít do pásu o velikosti nějakého K?
Nějak mi to není jasné, ale mám pocit, že mi s tímto nemůže nikdo pomoct, tedy že se nad tím ještě jednou zamyslím.

Ještě jednou děkuji za pomoc,
kolejo

Wellcosh · 07. 03. 2013 21:08

↑ kolejo: však to tvrzení z toho přímo plyne, stačí dosadit do definice spojitosti.
Spojitost v $a$ vlastně říká, že pro okolí $a$ spadnou funkční hodnoty do okolí $f(a)$ . To tvrzení je tedy snadný důsledek.

kolejo · 07. 03. 2013 21:10

Áha, jo, děkuju!
Tak označuji za vyřešené.
S pozdravem,
kolejo

Matematické Fórum

#1 07. 03. 2013 20:40

Z definice spojitosti dokažte...

#2 07. 03. 2013 21:00

Re: Z definice spojitosti dokažte...

#3 07. 03. 2013 21:05

Re: Z definice spojitosti dokažte...

#4 07. 03. 2013 21:08

Re: Z definice spojitosti dokažte...

#5 07. 03. 2013 21:10

Re: Z definice spojitosti dokažte...

Zápatí