Matematické Fórum

SoniCorr · 06. 03. 2013 21:06

Dobrý večer. Určete rychlost a dráhu relativistické částice, na níž působí konstatní síla F. Porovnejte s rovnoměrně zrychleným pohybem v nerelativistické fyzice a ukažte, že rychlost částice nepřekročí c.

Víme, že $a=\frac{F}{m}$ . Dále myslím že bych mohl pouzit $u=\frac{v}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}$ a $v=at$ . Tak to tam dosadím a měl bych mít rychlost v relativistické fyzice a ted premyslim co s tou dráhou

KennyMcCormick · 07. 03. 2013 22:03

$a=\frac{F}m$ platí pouze pro malé rychlosti. Vyjdeme z definice síly:
$\mathbf{F}=\frac{\operatorname{d}\mathbf{p}}{\operatorname{d}t}$ .

Pro sílu konstantní v čase přechází definice na tvar:
$F=\frac{p}t\Rightarrow p=Ft$ .

Protože:
$p=\gamma m_0v=\frac1{\sqrt{1-\left(\frac{v}c\right)^2}}m_0v$ .

Dosadíme za hybnost z předchozího vztahu a dostaneme:
$Ft=\frac1{\sqrt{1-\left(\frac{v}c\right)^2}}m_0v$ .

Vyjádříme rychlost:
$v=\frac{Ft}{\sqrt{m_0^2+\frac{F^2t^2}{c^2}}}$ .

Z rychlosti dostaneme integrací dráhu:
$s=\int\frac{Ft}{\sqrt{m_0^2+\frac{F^2t^2}{c^2}}}\operatorname{d}t=\frac{c^2\sqrt{\frac{F^2t^2}{c^2}+m_0^2}}F+C$ .

Konstantu určíme z podmínky:
$s(0)=0$ .

Vyjde:
$C=-\frac{m_0c^2}F$ .

Dráha tedy bude:
$s=\frac{c^2\sqrt{\frac{F^2t^2}{c^2}+m_0^2}}F-\frac{m_0c^2}F$ .

Rychlost částice nepřekročí nikdy c, protože máš:
$\lim_{t\rightarrow\infty}v=\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{Ft}{\sqrt{m_0^2+\frac{F^2t^2}{c^2}}}=c$ .

Je to srozumitelný?

SoniCorr · 07. 03. 2013 23:14

tak uprava na rychlost mi prijde slozita, zkousel jsem to tak, ze jsem si vzal vysledek a skladal jsem to zpatky a dostal jsem $v=\frac{Ft\sqrt{1+m_{0}^{2}c^{2}/F^{2}t^{2}}}{m_{0}}$ Kdybych to upravil "normalne" dostal bych : Ft*odmocnina/m0=v. Lisi se mi akorat zlomek.

SoniCorr · 07. 03. 2013 23:35

aha, ted jsem to napsal opet zase nesrozumitelne :-) $Ft=\frac1{\sqrt{1-\left(\frac{v}c\right)^2}}m_0v$ $v=\frac{Ft}{\sqrt{m_0^2+\frac{F^2t^2}{c^2}}}$ . Vzal jsem tento druhy vzorecek a skladal jsem ho zpatky a dostal jsem to, co jsem napsal :-)

KennyMcCormick · 08. 03. 2013 00:14

Vzorce nejsou stejné, promiň. To jsi odvodil špatně.
$v=\frac{Ft}{\sqrt{m_0^2+\frac{F^2t^2}{c^2}}}=\frac{Ft}{m_0\sqrt{1+\frac{F^2t^2}{m_0^2c^2}}}=\frac{Ft}{m_0\sqrt{\frac{m_0^2c^2+F^2t^2}{m_0^2c^2}}}=\frac{Ft\sqrt{\frac{m_0^2c^2}{m_0^2c^2+F^2t^2}}}{m_0}{\color{red}\neq}\frac{Ft\sqrt{1+\frac{m_{0}^{2}c^{2}}{F^{2}t^{2}}}}{m_{0}}$

KennyMcCormick · 15. 03. 2013 23:19

↑ KennyMcCormick:
Poslední výpočet měl být:
Vyjádřím čas jako funkci rychlosti:
$t=\frac{m_0v}{F\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Ukážu, že dosažení rychlosti světla zabere nekonečné množství času:
$\lim_{v\rightarrow c}t=\lim_{v\rightarrow c}\frac{m_0v}{F\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\infty$

Matematické Fórum

#1 06. 03. 2013 21:06

Rychlost a dráha v relativistické castice

#2 07. 03. 2013 22:03

Re: Rychlost a dráha v relativistické castice

#3 07. 03. 2013 23:14

Re: Rychlost a dráha v relativistické castice

#4 07. 03. 2013 23:30 Příspěvek uživatele KennyMcCormick byl skryt uživatelem KennyMcCormick. Důvod: Nadbytečný příspěvek.

#5 07. 03. 2013 23:35

Re: Rychlost a dráha v relativistické castice

#6 07. 03. 2013 23:38 Příspěvek uživatele KennyMcCormick byl skryt uživatelem KennyMcCormick. Důvod: Ty vzorce nejsou stejné...

#7 08. 03. 2013 00:14

Re: Rychlost a dráha v relativistické castice

#8 15. 03. 2013 23:19

Re: Rychlost a dráha v relativistické castice

Zápatí