Matematické Fórum

Jozef3 · 08. 03. 2013 15:09

Ahoj.
Mým úkolem je najít všechny homomorfismy z grupy S3 (permutace na třech prvcích) do aditivní grupy Zn v závislosti na n.

Postupoval jsem takto: Z teorie víme, že obraz homomorfismu musí být podgrupou Zn. Tedy dle Lagrangeovy věty musí mít obraz každého homomorfismu z S3 do Zn velikost 1, 2, 3 nebo 6 prvků.
a) Pokud má být velikost obrazu 1 prvek, tak je homomorfismem pouze nulové zobrazení.
b) Pokud má být velikost obrazu 2, 3 nebo 6 prvků, tak žádný homomorfismus z S3 do Zn neexistuje pro žádné n, neboť není možné splnit podmínku $\forall a,b: f(a*b) = f(a)+f(b)$ , kde * značí skládání permutací.

Celý svůj postup nebudu detailně postupovat, neboť je poměrně dlouhý.

Nicméně rád bych se vás zeptal: Je to takto správně? Opravdu existuje vždy jen a pouze triviální homomorfismus z S3 do Zn nezávisle na n? Docela mě tento výsledek překvapil, tak bych se rád zeptal, jestli je výsledek správně, nebo jsem něco zvrtal.

Děkuji.

Rumburak · 08. 03. 2013 17:18

↑ Jozef3:

Ahoj. Předpokládám, že Zn je grupa zbytkových tříd mod n a že homomorfismem "z" grupy S3 do Zn je míněn homonorfismus
(bez předložky) grupy G do Zn, kde G je podgupa v S3.

Myslím, že tam hraje svoji roli podmínka "v závislosti na n" . Například Z2 = { 0 , 1 } s tím, že 1 + 1 = 0 .
V S3 můžeme vzít permutace j = (1, 2, 3) , f = (2, 1, 3) , platí f * f = j , takže G = { j , f } je podgrupa v S3 isomorfní se Z2.

Je to dokonce ještě složitější. Například {0 , 2} je podgrupou v Z4 a zároveň je isomorfní se Z2, takže i s výše sestrojenou
podgrupou G v S3.

Jozef3 · 08. 03. 2013 18:12

↑ Rumburak:
Ahoj.
Především děkuji za radu.
Opět se ukázalo, že nejednoznačná zadání úkolů dokážou být někdy zrádná.
Pokud bychom tedy chápali zadání tak, jak jsi ho pochopil Ty, tak by bylo možné sestrojit netriviální homomorfismus G do Zn, pokud n je dělitelné dvěma nebo třemi. Přičemž pokud je n dělitelné dvěma tak existuje homomorfismus G do Z2, pokud je n dělitelné třemi, tak existuje homomorfismus G do Z3 a pokud je n dělitelné šesti tak existují homomorfismy G do Z2 a G´ do Z3, kde G´ je opět podgrupou S3. Všechny tyto homomorfismy by dalo ale velkou práci najít, což podle zadání úkolu mám udělat.
Pokud bychom navíc uvažovali Tvoji závěrečnou poznámku (tj. že bychom museli najít všechny homomorfismy i se všemi podgrupami Zn), stala by se z tohoto úkolu opravdová zvrhlost.

Možná jsem však trochu mystifikoval: Zadání úlohy je "Najděte všechny homomorfismy S3 (šipka) Zn v závislosti na n." Tudíž nevyskytuje se zde předložka "z", kterou jsem v původním dotazu uvedl. Naše definice homomorfismu (mezi grupami G a H) je, že pro každé 2 prvky grupy G musí platit $f(a*b)=f(a)+f(b)$ , kde * je binární operace grupy G a + je binární operace grupy H.

Pokud tedy z původního znění mého dotazu vypustím předložku "z" a budu hledat všechny homomorfismy (bez předložky) grupy S3 do grupy Zn, je pak moje úvaha (že existuje pouze triviální homomorfismus pro každé n) správná?

Bati · 09. 03. 2013 20:03

↑ Jozef3:
Z čeho přesně plyne, že ten obraz nemůže mít 4, nebo 5 prvků?

Tedy dle Lagrangeovy věty musí mít obraz každého homomorfismu z S3 do Zn velikost 1, 2, 3 nebo 6 prvků.

Tuhle větu jsem nepochopil. Připadá mi, že jsi uvažoval, že obraz toho homomorfismu musí být určitě podgrupou Z6 a pak použil Lagrangeovu větu, ale přece třeba Z5 není podgrupou Z6, mají jinak definované operace. Nebo se pletu?

Jozef3 · 09. 03. 2013 20:16

↑ Bati:
Aha, omlouvám se za zmatení. Pochopitelně, to, co jsem napsal, platí pro jádro homomorfismu, nikoliv pro obraz. Ten by sice (teoreticky) mohl mít 4 nebo 5 prvků, ale ani v tomto případě neexistuje homomorfismus mezi S3 a Zn (neboť v S3 neexistuje permutace, která by měla řád 4 nebo 5).

Bati · 09. 03. 2013 20:26

↑ Jozef3:
Aha, jasně. Díky.

Rumburak

↑ Jozef3:

Pokud tedy z původního znění mého dotazu vypustím předložku "z" a budu hledat všechny homomorfismy (bez předložky) grupy S3 do grupy Zn, je pak moje úvaha (že existuje pouze triviální homomorfismus pro každé n) správná?

Bohužel není . Vezměme přirozené číslo $n$ ( $n > 0$ ) a zobrazme všechny liché permutace z $S_3$ na číslo $n$ a všechny sudé
permutace na nulu - je to zřejmě netriviální homomorfismus grupy $(S_3\,, \circ)$ do $(\mathbb{Z}_{2n}\,, +)$ .

Ale kromě těchto homomorfismů už žádné další neexistují. Zkus to dokázat. Předpokládej existenci netriviálního homomorfismu
$h : (S_3\,, \circ) \to (\mathbb{Z}_{m}\,, +)$ a ukaž, že

1) $m$ musí být sudé přirozené číslo,

2) $h$ zobrazuje liché permutace na $\frac{m}{2}$ a sudé na nulu.

Další nápověda: