Matematické Fórum

ignorant · 10. 03. 2013 16:13

Mám příklady na substituci, které neumím vyřešit. Snad nebude vadit, že na každý není samostatné téma, když se všechny vztahují k substituci.
1. soustava rovnic (tady nevim ani jak začít)
$2\cdot 2^{x-y}+2^{x+y-1}=20$
$10\cdot 2^{x-y-1}-2^{x+y}$

2.logaritmy
$\log^{2}_{4}x^{3} - \frac{4}{\log^{2}_{4}x^{2}}=8$

3.goniometrické funkce (tady jsem skončil tak nikde)
$\sqrt{3}\sin \frac{x}{2}+ \sin x=0$

Moje řešení:
2.
$\log^{2}_{4}x^{3} - \frac{4}{\log^{2}_{4}x^{2}}=8$
$3\log^{2}_{4}x - \frac{4}{2\log^{2}_{4}x}=8$
$3\log^{2}_{4}x - \frac{2}{\log^{2}_{4}x}=8$
udělal jsem substituci $a=\log_{4}x$
$3a^{2} - \frac{2}{a^{2}}=8$
$\frac{3a^{4} - 2}{a^{2}}=8$
$3a^{4} - 8a^{2} -2=0$
ted mam dalsi substituci $a^{2}=b$
z kvadratické rovnice mi vyšlo $b=\frac{4\mp\sqrt{10}}{3}$
po dosazení vyjde nějaká úplná blbost. Má vyjít 4 a 1/4

3.
$\sqrt{3}\sin \frac{x}{2}+ \sin x=0$
$\sqrt{3}\cdot \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}+ \sin x=0$
$\sqrt{\frac{3-3\cos x}{2}}=-\sin x$
$\frac{3-3\cos x}{2}=-\sin^{2} x$
$-3+3\cos x=2\sin^{2} x$
A tady jsem skončil.

Freedy · 10. 03. 2013 16:35

U té dvojky si tu výslednou rovnici nějak divně počítal ne?
$3a^2 - 8a - 2 = 0$
$\frac{8\pm \sqrt{64+24}}{6} = \frac{8+\sqrt{88}}{6} = \frac{8+2\sqrt{22}}{6}=\frac{4+\sqrt{22}}{3}$

U té trojky si udělal fakt hloupou chybu v posledním kroku. Umocňuješ záporné číslo a mínus necháš před výrazem?
$\sqrt{\frac{3-3\cos x}{2}}=-\sin x$ - na druhou =
$\frac{3-3\cos x}{2}=\sin ^2x$
$3-3\cos x=2\sin ^2x$

a pokračuješ:
$3-3\cos x=2*(1-\cos ^2x)$
$2\cos ^2x-3\cos x+1=0$

Substituce a pozor na výsledky, prováděl si neekvivalentní úpravu takže je nutná zkouška.

martisek

↑ ignorant:

U té první soustavy chybí nějaké rovnítko, ale to je celkem jedno - doporučuji substituci 2^x=a; 2^y=b. Dále je třeba si už jen uvědomit, co znamená součet resp. rozdíl exponentů.

U třetí soustavy je jednodušší toto:

$\sqrt{3}\sin \frac{x}{2}+ \sin x=0$

$\sqrt{3}\sin \frac{x}{2}+ 2\sin \frac x 2 \cos \frac x 2=0$

$\sin \frac{x}{2}\left( \sqrt{3}+ 2 \cos \frac x 2 \right) =0$

ignorant

U té druhé rovnice to má být =-22

Ještě se chci zeptat jak jsi přišel, že sin x = 2 sin x/2 + cos x/2? Je to ze vzorce sin(2x) = 2sin(x)cos(x)?

U dvojky když chci dostat x tak zlomek
$b=\frac{4+\sqrt{22}}{3}$
musím odmocnit kvůli substituci
$a^{2}=b$
$a=\sqrt{\frac{4+\sqrt{22}}{3}}$
a dosadím do substituce
$a=\log_{4}x$
$\log_{4}x=\sqrt{\frac{4+\sqrt{22}}{3}}$
$x=4^{\sqrt{\frac{4+\sqrt{22}}{3}}}$
$x=10,59$
Počítám správně? Ještě musím dopočítat se záporným znaménkem, to je jasný

nejsem_tonda · 10. 03. 2013 22:26

Zdravim,
necetl jsem vse, ale napriklad u druhe ulohy se vyskytla chyba uz na zacatku:

$\log^{2}_{4}x^{3}=\left(\log_{4}x^{3}\right)^2=\left(3\log_{4}x\right)^2=9\log_4^2x$

Podobne se clenem $\log^{2}_{4}x^{2}$ .

ignorant · 10. 03. 2013 23:25

nejsem_tonda: díky, už mi to konečně vyšlo.

Dvojku jsem svý způsobem asi blbě počítal.
Má vyjít: $2k\pi ;\frac{5}{3}\pi +4k\pi ;\frac{7}{3}\pi +4\pi$
zkousel jsem postup martiska, ale udelal jsem akurat substituci x/2 a dal nevim co s tím.

U jednicky jsem dopocital tohle:
$2\cdot 2^{x-y}+2^{x+y-1}=20$
$10\cdot 2^{x-y-1}-2^{x+y}=-22$
substituce
$a=2^{x+y}$
$b=2^{x-y}$
dosadíme
$2b+\frac{a}{2}=20$
$5b-a=-22$
vynásobím první 2, seštu a dostanu:
$9b=-2$
$b=-\frac{2}{9}$
dosadím do první a dostanu:
$5\cdot (-\frac{2}{9})-a=-22$
$a=\frac{188}{9}$
Nevím ale jak to dosadit do te substituce.
pozn. substituci jsem delal podle vysledku

Cheop · 11. 03. 2013 09:31 — Editoval Cheop (11. 03. 2013 09:33)

↑ ignorant:
$2b+\frac{a}{2}=20\\a+4b=40\\-a+5b=-22\\9b=18\\b=2$
$a=40-4b\\a=40-8\\a=32$
$2^{x+y}=2^5\\2^{x-y}=2^1$
$x+y=5\\x-y=1$

Cheop · 11. 03. 2013 09:46 — Editoval Cheop (11. 03. 2013 09:47)

↑ ignorant:
$\sin \frac{x}{2}\left( \sqrt{3}+ 2 \cos \frac x 2 \right) =0$
1)
$\sin\frac{x}{2}=0\\\frac x2=k\pi\\x_1=2k\pi$
2)
$\sqrt 3+2\cos \frac x2=0\\\cos\frac x2=-\frac{\sqrt 3}{2}\\\frac x2=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\\x_2=\frac{5\pi}{3}+4k\pi\\\frac x2=\frac{7\pi}{6}+2k\pi\\x_3=\frac{7\pi}{3}+4k\pi$

A máš kýžený výsledek

ignorant · 11. 03. 2013 20:13

Děkuju za pomoc.

Matematické Fórum

#1 10. 03. 2013 16:13

Řešení rovnice pomocí substituce

#2 10. 03. 2013 16:35

Re: Řešení rovnice pomocí substituce

#3 10. 03. 2013 16:42 — Editoval martisek (10. 03. 2013 16:47)

Re: Řešení rovnice pomocí substituce

#4 10. 03. 2013 22:08 — Editoval ignorant (10. 03. 2013 22:36)

Re: Řešení rovnice pomocí substituce

#5 10. 03. 2013 22:26

Re: Řešení rovnice pomocí substituce

#6 10. 03. 2013 23:25

Re: Řešení rovnice pomocí substituce

#7 11. 03. 2013 09:31 — Editoval Cheop (11. 03. 2013 09:33)

Re: Řešení rovnice pomocí substituce

#8 11. 03. 2013 09:46 — Editoval Cheop (11. 03. 2013 09:47)

Re: Řešení rovnice pomocí substituce

#9 11. 03. 2013 20:13

Re: Řešení rovnice pomocí substituce

Zápatí