Matematické Fórum

Olínečka · 13. 03. 2013 17:21

Ahoj, potřebovala bych poradit s řešením tohoto příkladu:
$\frac{|x-4|}{x+1}>1$
Určila jsem si definiční obor $D = R-\{-1\}$
Pak jsem odečetla 1 a zlomek převedla na společného jmenovatele:
$\frac{|x-4|-x-1}{x+1}>0$
Potřebovala bych poradit, jak mám postupovat dál a jak se obecně řeší tyto racionální nerovnice s absolutní hodnotou? Díky.

vlado_bb · 13. 03. 2013 17:28

↑ Olínečka:Napriklad mozes uvazovat pripad $x \ge 4$ a potom $x < 4$ , tym sa zbavis absolutnej hodnoty.

MartinK

↑ Olínečka:
ahoj,
resi se to tak, ze se zamyslis nad tim, kdy plati $\frac{|x-4|-x-1}{x+1}>0$
zlomek je vetsi nez nula prave tehdy, kdyz maji oba citatel i jmenovatel stejne znamenko. Vyresis tedy dva pripady $(|x-4|-x-1>0 \cap x+1>0)\cup\nl(|x-4|-x-1<0 \cap x+1<0)$

zdenek1 · 13. 03. 2013 17:56

↑ Olínečka:
Taky můžeš začít přemýšlet:
výraz na levé straně je větší než 1, takže je kladný. Protože absolutní hodnota je nezáporná, musí být jmenovatel kladný. To znamená
a) $x+1>0$ -> $x>-1$ (1)
b) nerovnici můžu výrazem $x+1$ bezpečně vynásobit a převést na tvar
$|x-4|>x+1$
a protože jsou obě strany kladné, můžu bez újmy na obecnosti nerovnici umocnit.
$x^2-8x+16>x^2+2x+1$
$x<1,5$

spolu s podmínkou (1) dostanu odpověď

Olínečka

Počítala jsem to tedy takhle:
$[(|x-4|-x-1>0\wedge x+1>0)$ $\vee (|x-4|-x-1<0\wedge x+1<0)]$
$[(|x-4|>x+1\wedge x>-1)$ $\vee (|x-4|<x+1\wedge x<-1)]$
$x\in (-1;\frac{3}{2})\vee x\in \emptyset$
$P_{(x)}=(-1;\frac{3}{2})$
Je to takhle správně?