Matematické Fórum

vercaurbiskova

ahoj dostala jsem zadaný tento příklad : y´=1/y*(1-x) dokázala jsem vyřešit do tvaru $y=\sqrt{2C-(x-1)^2}$ ale bohužel již nevím jak mám vyřešit všechny maximální řešení. Díky moc za pomoc

martisek

↑ vercaurbiskova:

V řešení je chybička, má být

$y=\pm\sqrt{2C-(x-1)^2}$

Dále bych místo 2C napsal klidně jenom C, tedy

$y=\pm\sqrt{C-(x-1)^2}$ (1)

Maximální řešení je řešení s nejširším možným definičním oborem. Výraz (x-1)^2 je definován pro každé R, odmocnina je definována pro C-(x-1)^2>=0. Je tedy třeba najít takové C, aby pro každé reálné x platilo C-(x-1)^2>=0. To ale není možné.

Jinak řečeno: ke každému intervalu (x_1;x_2) in R, na kterém je definováno řešení (1), lze vhodnou volbou C najít interval (a;b) tak, že (x_1;x_2) in (a;b) a na (a;b) je řešení (1) rovněž definováno.

Maximální řešení neexistuje.

vercaurbiskova

↑ martisek:
chci se jen zeptat, kdybych to x omezila na interval $(1-\sqrt{C}, 1+\sqrt{C})$ ani pak by to nemělo maximální řešení ??? Díky :)

martisek

↑ vercaurbiskova:

Rozhlédl jsem se po všech možných textech, jak je definováno maximální řešení, a zjistil jsem, že různě. Buď

a) jako řešení s nejširším možným definičním oborem

anebo

b) jako řešení, které nelze prodloužit.

To bohužel není totéž.

Pokud bychom to definovali pomocí a), pak by maximální řešení neexistovalo, protože třeba řešení

$y=\sqrt{C+1-(x-1)^2}$

má širší definiční obor než $(1-\sqrt{C}, 1+\sqrt{C})$ a protože to C můžu zvětšovat do nekonečna, takto definované maximální řešení neexistuje.

Pokud to ovšem definujeme podle b), pak je pravda, že řešení $y=\sqrt{C-(x-1)^2}$ definované na $(1-\sqrt{C}, 1+\sqrt{C})$ je maximální, protože toto řešení nelze prodloužit.

Takže by bylo dobré podívat se, jak to máte definováno, a podle toho se rozhodnout.