Matematické Fórum

lotoska · 13. 03. 2013 20:37

Prosím o radu

Mám kombinatorickou rovnici. $(x!)^2-7x!+6=0$
zavedla jsem substituci a kořeny y1=1, y2=6

jak to dosadím zpět do substituce a vypočtu x1,x2,x3nedokážu na to přijít.

zdenek1 · 13. 03. 2013 21:05

↑ lotoska:
No to nevypočítáš, to musíš vědět
$x!=1\ \Rightarrow\ x=0\ \vee\ x=1$
$x!=6=1\cdot2\cdot3\ \Rightarrow\ x=3$

lotoska · 13. 03. 2013 21:35

↑ zdenek1:

Já jsem pořád nepochopila jak musím vědět, jak k tomu příjdu

x! =6 substituce x=3, jak příjdu na to 1.2.3 to násobím tak dlouho dokud nedojdu k 6.

vanok · 14. 03. 2013 12:24

Ano ↑ lotoska:,
Akoze ide o male cisla, mozes to porovnat z postupnostou
0!=1; 1!=1,2!=2; 3!=6; 4!=24 ... viditelne tato postupnost je stupajuca a akoze tvoje korene su 1 a 6...; vysledok jednoducho precitas v riadku z faktorialmy.

Cheop · 14. 03. 2013 12:35 — Editoval Cheop (14. 03. 2013 12:36)

↑ lotoska:
$(x!)^2-7x!+6=0$
Substituce:
$x!=t$
$t^2-7t+6=0\\(t-6)(t-1)=0\\t_1=6\\t_2=1$
$x!=6\\x=3$
$x!=1\\x=1\\x=0$
Řešení:
$x=(0;\,1;\,3)$

Honzc · 14. 03. 2013 12:47

↑ lotoska:
Rovnice se dá upravit na tvar
$x!(7-x!)=6$
Protože $x!$ je vždy kladný a je to přirozené číslo,pak musí platit $x!(7-x!)>0$ a tedy $x!<7$
Dále platí rozklad $6=6\cdot 1\vee 6=3\cdot 2$
Zkusíš
1. $x!=6\Rightarrow x=3$ a tedy $7-x!=7-6=1$
Rovnice $x!(7-x!)=6$ platí
2. $x!=1\Rightarrow x=1$ a tedy $7-x!=7-1=6$
Rovnice $x!(7-x!)=6$ opět platí
3. Protože také $0!=1$ musíš vyzkoušet i tuto možnost ( $x=0$ )
$x=0\Rightarrow0!=1$ a tedy $7-x!=7-1=6$
Rovnice $x!(7-x!)=6$ kupodivu opět platí
Pro rozklad $6=3\cdot 2$ žádné přirozené nenajdeš.