Matematické Fórum

vanok · 08. 03. 2013 15:12

V prispevku http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=57862 sa spontanne zacalo diskutovat o pojme mocnina, odmocnina ... a o funkciach ktore take vyrazy obsahuju.
Bolo by dobre vyjasnit ako definovat funkciu $a --> a^x$ pre realne x.
Tak nevahajte dat vas nazor.

JohnPeca18

Mna zaujala definica v knizke Matematika - Priprava na prijmaci zkousky na PEF CZU
Tam je napisane
Mocnina $a^n$ musi splnovat predpoklady
$n\in \mathbb{N}$ plati pro $a\in \mathbb{R}$
$n\in \mathbb{N}_0$ plati pro $a\in \mathbb{R}-\{0\}$
$n\in \mathbb{Z}$ plati pro $a\in \mathbb{R}-\{0\}$
$n\in \mathbb{Q}$ plati pro $a\in \mathbb{R}^{+}$
$n\in \mathbb{R}$ plati pro $a\in \mathbb{R}^{+}$
S tím ma napadla aj zaujímavý príklad na falošný dôkaz
$-1=(-1)^{3}=(-1)^{\frac6 2}=((-1)^{6})^{1/2}=1^{1/2}=1$
Která rovnost je špatne? Už si to nepamatam presne ale tak nejak to bolo.
Podla toho co som pisal, tak druha rovnost, pretoze zaporne cislo nemozme umocnovat na zlomok.
edit: vsimol som si, ze podobny priklad je uz v odkaze . .

byk7 · 08. 03. 2013 21:17 — Editoval byk7 (09. 03. 2013 13:58)

chyba!

Já bych např. definoval pro $a,b\in\mathbb{Z}$
$x^{a/b}:=\text{sgn}(x)\sqrt[b]{|x|^a}$
přičemž by bylo nutné upravit definiční obory.

Stýv · 08. 03. 2013 21:32

↑ byk7: mno, pokud bys nepřehodil a a b... tak by to stejně bylo na hovno, protože by ani neplatilo x^2=x*x

Miky4 · 08. 03. 2013 23:17 — Editoval Miky4 (08. 03. 2013 23:19)

↑ Stýv:
Ale takhle by to být mohlo ne?
$x^{a/b}:=\text{sgn}(x)^a\sqrt[b]{|x|^a}$
Ale stejně to neplatí pro záporná x.

Stýv · 08. 03. 2013 23:21

↑ Miky4: pak by zas neplatilo x=x^(2/2), jestli se nepletu

peter_2+2 · 10. 03. 2013 12:15

Ta diskuse, alespoň jak se mi zdá, započala již někde dříve, a protože některé úvahy mohou na ony dřívější navazovat, přijde mi prospěšné je nepřehlížet a uvést i je:
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=308
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=57395

vanok · 10. 03. 2013 14:58

Ahoj ↑ peter_2+2:,
Dobra reakcia.
Pridavam do diskuzie tento moj nazor:
Zda sa mi ze napisat, ze nejaka rovnost, ako sa to casto robi v textoch cviceni, definuje dokonale nejaku funkciu alebo aplikaciu je NEPRESNE. Na to treba upresnit aj to na akych mnozinach sa pracuje.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Ak treba, mozem dat aj konkretne priklady.

check_drummer · 12. 03. 2013 18:13

↑ vanok:
Ahoj, pro a>0 bych definoval $a^x := e^{x\cdot \ln a}$ .

vanok · 12. 03. 2013 18:29

poznamky ↑ JohnPeca18:,
tomu paradoxu, sa da predist, tak ze sa vybere vzdy dobry reprezentant rationalneho cisla
(co by si navrhol?)

↑ check_drummer: pre matematicku anylyzu je to iste velmi vyber

check_drummer · 13. 03. 2013 21:11

↑ vanok:
Ahoj, já bych skoro řekl, že jinou možnost, jak ten výraz definovat pro a>0 nemáme, protože je: $a^x=(e^{\ln a})^x=e^{x \cdot \ln a}$ . V poslední rovnosti využívám toho, že pro mocninu "chceme", aby platilo $(b^c)^d=b^{c \cdot d}$ .

vanok · 13. 03. 2013 21:55 — Editoval vanok (14. 03. 2013 10:23)

↑ check_drummer:
vsak ano, to moze byt len nieco ekvivalentne.
A, ze predpokladas ln ako uz vopred definovanu funkciu?
A mas vyhodu, ze to robis ako viaceri znami matematici.

vanok · 14. 03. 2013 10:21

Otazka: a co si myslite o inverznej funkcii logaritmu ?

Matematické Fórum

#1 08. 03. 2013 15:12

$a^x$

#2 08. 03. 2013 17:07 — Editoval JohnPeca18 (08. 03. 2013 17:10)

Re: $a^x$

#3 08. 03. 2013 21:17 — Editoval byk7 (09. 03. 2013 13:58)

Re: $a^x$

#4 08. 03. 2013 21:32

Re: $a^x$

#5 08. 03. 2013 23:17 — Editoval Miky4 (08. 03. 2013 23:19)

Re: $a^x$

#6 08. 03. 2013 23:21

Re: $a^x$

#7 10. 03. 2013 12:15

Re: $a^x$

#8 10. 03. 2013 14:58

Re: $a^x$

#9 12. 03. 2013 18:13

Re: $a^x$

#10 12. 03. 2013 18:29

Re: $a^x$

#11 13. 03. 2013 21:11

Re: $a^x$

#12 13. 03. 2013 21:55 — Editoval vanok (14. 03. 2013 10:23)

Re: $a^x$

#13 14. 03. 2013 10:21

Re: $a^x$

Zápatí